Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 336.
самой в себя, 494 СИСТЕМЫ c ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ [гл. VII
> а < а.
Прежде всего, так же. как и в предыдущем случае, сразу можно убедиться в существовании траекторий Z = Z1(O), охватывающих цилиндр и удовлетворяющих условию: z1 (O2 — 2тс) z1 (O2) (такими
траекториями, в частности, будут те, для которых z (O2) 1 ^ j.
Для них s'<^s, т. е. всегда (при любых <х^>0) график интересующей нас функции последования s'=/(s) при достаточно больших s лежит под биссектрисой s' = S (рис. 337).
Рассмотрим теперь ход сепаратрисы Г, выходящей из седла с положительным угловым коэффициентом (три возможных случая изображены на рис. 334—336). i'-) . В консервативном случае
а = 0 сепаратриса Г идет целиком в верхней половине цилиндра (см. рис. 322 и 323). Поэтому при достаточно малом а, когда система близка к консервативной, заведомо будет иметь место картина, изображенная на рис. 334: сепаратриса Г идет в верхней половине фазового цилиндра и пересекает полупрямую Z' в некоторой точке s' = Sq^> 0 '). Так как согласно (7.5) dz/db монотонно убывает с ростом а (и притом неограниченно при а —> -]- оо), то при увеличении параметра а сепаратриса Г (в пределах области z^>0) монотонно опускается вниз, вследствие чего Sq уменьшается и при некотором бифуркационном значении а = а0 обращается в нуль (<х0 является некоторой функцией параметра (3; при а = а0 сепаратриса Г, очевидно, возвращается обратно в седло; см. рис. 335). Следовательно, при всех а <^а0 сепаратриса Г идет так, как это показано на рис. 334, и ее начальная точка s = 0 имеет последующую ^^>0. Кроме того, поскольку над сепаратрисой Г нет особых точек уравнения (7.5), все траектории, пересекающие полупрямую Z, будут охватывать фазовый цилиндр, и соответственно все точки s ^>0 этой полупрямой будут иметь последующие точки s' (s' Sq 0); иначе говоря, при а <^а0 функция последования s'=/(s) существует (определена) для всех s^0, причем /(0) = Sj^>0. В силу ее непрерывности8) график функции
') Решения уравнения (7.5) непрерывно зависят от параметра а (соответствующая общая теорема приведена в Дополнении I).
2) Непрерывность функции последования следует из теоремы о непрерывной
зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий
(см. Дополнение I).
Рис. 337. § 3] маятник с постоянным моментом. неконсерв. случай 495
последования при а<^а„ будет обязательно пересекать биссектрису.
= s (см. кривые I, II и III на рис. 337, изображающие графики функции последования при трех различных, последовательно возрастающих значениях параметра а<^а0). Эта точка пересечения и будет неподвижной точкой s* рассматриваемого точечного преобразования, соответствующей предельному циклу, охватывающему фазовый цилиндр (неподвижная точка единственна, поскольку, как было показано, не может быть более одного предельного цикла, охватывающего цилиндр). Ясно, что координата неподвижной точки s* —> -f- О при а —> а0.
Из тех же соображений относительно уменьшения при увеличении параметра а следует, что при а а0 сепаратриса Г уже не выходит на образующую цилиндра o = o2 (см. рис. 336) и точка s = O не имеет последующей. Но тогда другая сепаратриса седла T1, имеющая в окрестности седла отрицательный наклон обязательно
выйдет (при движении в сторону отрицательных х) на образующую o = i>2 (на полупрямую Z на рис. 336) в некоторой точке s0 ^>0, поскольку она не может выходить из устойчивого состояния равновесия (O1, 0). Поэтому точка s = s0^>0 будет иметь последующей точку s' = 0, а график функции последования (он будет непрерывной кривой при s^>s0^>0) буд^т проходить через точку (s0, 0), лежащую под биссектрисой s'=s0 (см. кривую V на. рис. 337), и или не будет пересекать эту биссектрису (тогда нет неподвижных точек, нет и предельных циклов), или будет пересекать ее в четном числе (неподвижных) точек. Последнее невозможно, так как точечное преобразование sr=/(s) не может иметь более одной неподвижной точки, поскольку система (7.4) не может иметь более одного предельного цикла, охватывающего фазовый цилиндр.
Таким образом, при 0 ? 1 мы получаем два различных случая для а<^а0 и для а^>я0.
При а<^а0 существует единственное периодическое движение системы — единственный предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр (рис. 338). С ростом а (но а<^а0) этот предельный цикл сдвигается вниз (ибо s* убывает) и приа = а0 сливается с петлей сепаратрисы, охватывающей (при а = а0) цилиндр.
При а я0 никаких периодических движений системы не существует (рис. 339).
Оба найденных нами периодических решения второго типа, т. е. охватывающих цилиндр (первое при любом а и ? 1, второе при а<^а0 и ?<^l), устойчивы, так как все соседние движения стремятся к этим периодическим движениям. Однако, в то время как в первом случае (?^>l) периодическое решение устанавливается при любых начальных условиях, во втором случае существует область начальных значений, из которых система приходит к состоянию покоя 496
системы c цилиндрической фазовой поверхностью i гл. vii
