Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Построения эти дадут разные результаты при разных значениях ?.
Случай ? = 0, т. е. движение маятника без добавочного постоянного момента, мы уже рассматривали в § 4 гл. II. Мы там видели, что все фазовые траектории, кроме двух особых точек (центра и седла) ц сепаратрис седла, суть замкнутые и соответствуют перио- МАЯТНИК С ПОСТОЯННЫМ МОМЕНТОМ
487
дическим движениям маятника, причем внутри сепаратрис лежат замкнутые траектории, охватывающие центр и не охватывающие цилиндр, а вне их — замкнутые траектории, охватывающие фазовый цилиндр. Последние соответствуют новому типу периодических движений, о которых мы уже говорили.
Для р ф 0 мы получим разные картины в зависимости от того,' будет ли ?Cl или ?^>l. На вспомогательной плоскости мы должны построить кривую
y = 1 cos & -f- 2р&. При р<1 эта кривая имеет максимум при 8 = O1 = arcsinр ^OsgO1C
Cyj и минимум при O = Os = It — O1 (при построении кривой (7.9)
мы можем ограничиться значениями — я С ® s^ При P=I кри-
вая у = 2 (cos 0 р0) не имеет ни максимума, ни минимума, но имеет
при 0 = у точку перегиба с горизонтальной касательной. При P 1
кривая у = 2 (cos 0 р0) возрастает монотонно и не имеет ни экстремумов, ни точек перегиба.
Для случая PCl (Рис- 322) мы снова получаем одну особую точку типа центра, одну особую точку типа седла и сепаратрису. На цилиндре мы получим картину, изображенную на рис. 323. Кривые,
находящиеся внутри сепаратрисы, — замкнутые и соответствуют периодическим движениям. Кривые, лежащие вне сепаратрисы, не замыкаются на цилиндре, так как при увеличении 0 на 2я z для них не приобретает прежнего значения, а с каждым оборотом возрастает (по абсолютной величине). Следовательно, периодические движения 488
системы c цилиндрической фазовой поверхностью [гл. Vii
«второго типа» в этом случае невозможны. Для ? 1 (рис. 324) мы получим одну особую точку высшего порядка. В этом случае
замкнутых кривых на цилиндре (рис. 325) нет совсем. Для ? 1 Точка трегиЯа особых точек совсем нет (рис. 326), нет также и замкнутых кривых
Рис. 325.
rz=0
Рис. 326.
Рис. 327.
на цилиндре (рис. 327). Следовательно, при ? 53 1 невозможны периодические движения ни первого, ни второго типа. Физический смысл § 3] маятник с постоянным моментом. неконсерв. случай 489
полученных результатов совершенно ясен. Если постоянный момент не слишком велик, так что он нижнее положение равновесия смещает менее чем на у (т. е. постоянный момент меньше, чем наибольший момент силы тяжести), то при достаточно малых начальных отклонениях (и начальных скоростях) возможны колебания вокруг этого смещенного положения равновесия. При этом, двигаясь в сторону, противоположную внешнему моменту, маятник отдает ту же энергию, которую он получил при движении в направлении внешнего момента. Если начальное отклонение велико, то благодаря действию постоянного внешнего момента маятник пройдет через верхнее положение равновесия и дальше будет двигаться в направлении постоянного момента, причем скорость маятника после каждого оборота будет возрастать. Если же ?]>l, то внешний момент превосходит наибольший момент силы тяжести. В таком случае колебания вообще невозможны, и при любых начальных условиях маятник в конце концов будет вращаться в направлении постоянного момента с моно-
dz d2 9.. „
тонно возрастающей скоростью, поскольку теперь ^ = ПРИ
любых 8.
§ 3. Маятник с постоянным моментом. Неконсервативный
случай [198]
Перейдем к рассмотрению неконсервативной системы (7.4) при В этом случае уравнение интегральных кривых на цилиндре
dz , а і о dz — az — sin a 4- ?
z -js = — az — sin !) -4- В или =-—
d& 1 r d& z
уже не поддается непосредственному интегрированию. Поэтому мы должны применить методы качественного интегрирования.
dz
Прежде всего изоклина ^g = O есть сдвинутая синусоида. Ее уравнение
P — sin а
Z = -- .
а
Она пересекает ось 0 только при ?<[l (рис. 328). При ?]>l эта
dz
изоклина не пересекает оси 0 (рис. 329). Далее между сину-
соидой и осью О, т. е. в областях, заштрихованных на рис. 328 и 329. Во всей остальной области
Координаты особых точек по-прежнему определяются уравнениями:
?_ sino = 0, z = 0. 490 системы c цилиндрической фазовой поверхностью [гл. vii
Следовательно, при ? 1 особых точек нет. При ? 1 существуют две особые точки (два состояния равновесия): B = B1, z = 0 и О =B2 =
= it — B1, Z = 0, где, как и раньше, B1 = aresin ? ^O SgB1^yj.
Выясним характер этих состояний равновесия. Положим с этой
целью в уравнениях (7.4) 8 = Z
.-H
(i = 1, 2) и разложим sin» в ряд по степеням I. Ограничиваясь первой степенью 5, получим систему линеаризованных уравнений, описывающую поведение системы около состояния равновесия (8„ 0):
¦ OLZ — \ cos 8г,
dz
di:
dj dx'
с характеристическим внением
(7.10) ура-
X* аХ -f- cos 8г = 0. (7.11)
Так как cos B1 0, а cos Ba = — cos B1 0, то, следовательно, состояние равновесия (B1, 0) ¦— устойчивый фокус при а2 <^4 CosB1 и устойчивый узел при Рис. 329. а2 4 cos 8t, а состояние
