Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы установить зависимость типа особой точки от других параметров, мы построим аналогичные диаграммы для L, р (рис. 238) и С, р (рис. 239). Для обеих диаграмм граница комплексных корней выразится уравнением
L2 -f (RCp)2 — 2RCLp — 4R1CL = 0 § 5] пример: состояния равновесия в цепи вольтовой дуги 321 или
P = ^2/?-
На диаграмме L, р эта граница представляет собой одну кривую с асимптотой р = -^-, вертикальной касательной в точке Z-=O1 р = 0 и горизонтальной касательной в точке L = RiC, р = — R.
P
Рис. 238.
На диаграмме С, р эта граница распадается на две кривые гиперболического типа с асимптотами C=O и р = 0. Граница области устойчивости узлов и фокусов, определяемая уравнением RCp = — L, представляет собой для второй диаграммы С, р гиперболу с осями координат в качестве асимптот и для первой диаграммы — прямую. Граница области особых точек типа седла дается уравнением
P = -R,
т. е. и в той и в другой диаграмме представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. В результате мы получаем две диаграммы, изображенные на рис. 238 и 239. Легко убедиться, что эти диаграммы вполне согласуются с первой, изображенной на рис. 237,
11 Теория колебаний 322
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ v
и лишь дополняют ее. Все три диаграммы позволяют судить о характере особых точек при любых значениях параметров R, С, L и р.
Очевидно, состояние равновесия, лежащее на восходящем участке характеристики дуги (например, точка / на рис. 236), всегда
Наконец, состояние равновесия, лежащее на падающем участке характеристики дуги (р 0), но для которого I р I R (это и имеет место, например, для точки 3 на рис. 236), не может быть' седлом и является либо узлом, либо фокусом. Это состояние равновесия устойчиво при малых С (см. рис. 239), а при малых L, как это следует из рис. 238, неустойчиво.
Два условия устойчивости состояния равновесия на падающем участке характеристики дуги:
при L^ 0 сводятся к одному условию: | р | R, как это мы получили в § 6 гл. IV, если положить C = O. Однако, поскольку любая схема обладает некоторой, пусть малой, паразитной емкостью, для устойчивости состояния равновесия на падающем участке характеристики дуги необходимо (кроме выполнения условия I р I R), чтобы схема содержала некоторую, не слишком малую индуктивность, тем меньшую, чем меньше емкость С.
При рассмотрении устойчивости состояний равновесия в схеме с вольтовой дугой мы пользовались статической характеристикой дуги, которая, строго говоря, относится только к установившимся, равно-
Рис. 239.
устойчиво, так как для него р 0. Зная соотношения между L, С, R и р, мы могли бы сразу установить, принадлежит ли это состояние равновесия к типу фокусов или к типу узлов. Если же состояние равновесия лежит на падающем участке характеристики дуги (в области отрицательных р) и наклон нагрузочной прямой и =E— Ri меньше наклона характеристики дуги, т. е. если р 0 H|p|>R (эти условия всегда выполняются для среднего состояния равновесия в случае существования трех состояний равновесия — для точки 2 на рис. 236), то это состояние равновесия является седлом и, следовательно, неустойчиво как при малых, так и при больших LhC.
p|<R и L>|p| RC, § 5] пример: состояния равновесия в цепи вольтовой дуги 323
весным процессам в дуге. Поэтому наше рассмотрение будет удовлетворительным только при достаточно медленных колебаниях в схеме, что имеет место при достаточно больших L или С. Если же L и С малы и в схеме имеют место быстрые колебания, то в этом случае инерционность ионных процессов в дуге играет существенную роль, и мы не можем для анализа устойчивости равновесных состояний использовать статическую характеристику дуги, а должны вместо нее применить динамические (дифференциальные) уравнения, которые с той или иной степенью точности отображают динамику дугового разряда. Оказывается, инерционность дугового разряда является стабилизирующим фактором, достаточным для того, чтобы состояние равновесия схемы при малой емкости С стало устойчивым без всякой индуктивности в цепи дуги.
Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, которое в какой-то мере отображает динамику процессов в дуге вблизи состояний равновесия (и0, io), может быть записано в виде:
где ? = «— и0, і = (—io и и — напряжение на зажимах дуги [200,51]. Это уравнение приближенно учитывает инерционность дугового разряда, которая обусловлена главным образом тепловой инерцией электродов дуги и газового промежутка (постоянная времени т, характеризующая эту инерционность, имеет порядок величины, равный Ю-3 — IO-4 сек). Из уравнения (5.48) как предельные случаи мы получаем и линеаризованную статическую характеристику ? = ртц, если положить производные равными нулю, и динамическую характеристику для высокочастотных колебаний, когда тепловое состояние дуги не успевает изменяться и дуга ведет себя как обычный проводник, подчиняющийся закону
Ома, S = -^Yj, если считать производные настолько большими, что в уравнено
НИИ МОЖНО отбросить члены ?-рт].
