Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Случай действительных корней характеристического уравнения. В этом случае, как мы знаем, систему уравнений первого приближения можно путем линейного однородного преобразования')
ii = a* + ?ij, ® = T5 + 8ij (5.38)
') См. § 2. Здесь лишь изменены буквенные обозначения переменных. 310
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ перВОгО ПОРЯДКА
[гл, iV
привести к так называемому «каноническому» виду:
: X1W,
du dt
dv ,
w=k*v>
где X1 и X9 — как раз корни характеристического уравнения. Применим то же преобразование к систЬме (5.1). Мы получим тогда опять нелинейную систему:
du dt dv ~dt
: X1H + [PnU1 -j- 2PnIiv -f- pMv*) + ..., : + + 2guuv -f- ?92u2) + .,.
(5.39)
Умножая первое уравнение на и, второе на v и складывая, получаем:
1 dp_ 2 dt
: X1U1 + X9TJ2 + ... = Ф(н, г.),
(5.40)
где P = U1 D2.
Рассмотрим отдельно три случая: X1 и X9 оба отрицательны, X1 и X9 оба положительны, X1 и X2 разных знаков.
1. Если X1 и X2 оба отрицательны, то, как нетрудно показать, кривая Ф (и, d) = 0 имеет в начале координат изолированную точку,
а поверхность Z= Ф (и, w) имеет максимум в начале координат. Отсюда следует, что существует область (область 5) вокруг начала координат, в которой Ф (ц, и) 0 (за исключением точки н = 0, d = O, так как ф (0,0) = 0). Наличие такой области сразу позволит нам доказать устойчивость состояния равновесия.
Пусть вокруг начала координат нам задана какая-то область е. Выберем в качестве области 8 область, ограниченную окружностью с центром в начале координат, целиком лежащую как в области S, так и в области є (рис. 228). Нетрудно видеть, что если мы поместим изображающую точку где-нибудь внутри области 8 (є), то она никогда не уйдет из этой области и, следовательно, не сможет достичь границы области е. Действи-
-^--<^0 для всех точек области 8'); следовательно, изоб-
Рис. 228.
тельно,
') Кроме точки и — 0, V = 0; но изображающая точка, попавшая в начало координат, останется там в покое. состояния равновесия. устойчивость
311
ражающая точка с течением времени может только приближаться к началу координат. Таким образом, исследуемое состояние равновесия устойчиво по Ляпунову. Больше того, можно показать, что в этом случае состояние равновесия асимптотически устойчиво, т. е. при неограниченном возрастании времени изображающая точка асимптотически стремится к состоянию равновесия. Действительно, так как р = H2-J-iDa монотонно убывает с течением времени, начиная от начального значения р=р0, то при t-y оо р стремится либо к нулю, либо к какому-нибудь пределу р4 (рі^>0). Нетрудно видеть, что стремление к пределу, отличному от нуля, исключено, так как при
конечной скорости ^ I ~ если Po ^r P Ptj за неограни-
ченное время р должно было бы уменьшиться на сколь угодно большую величину и не смогло бы оставаться положительным. Очевидно, что эти утверждения не нарушатся при обратном возвращении на плоскость I, т]. Соответствующее состояние равновесия устойчиво по Ляпунову, и изображающая точка, помещенная вблизи состояния равновесия на плоскости u, тг], также будет асимптотически приближаться к состоянию равновесия.
Сделаем в связи с этим одно замечание, которое нам пригодится впоследствии. Каждая окружность на плоскости u,v, целиком лежащая внутри области S, является «циклом без прикосновения» (или «циклом без контакта»; cycle sans contact по Пуанкаре), так как все интегральные кривые пересекают ее (при отрицательных Si и S2 все кривые входят внутрь) и ни одна не касается. Мы можем построить целое семейство таких окружностей, вложенных друг в друга и стягиваю- Рис. 229. щихся к началу координат; такое
семейство можно назвать семейством циклов без прикосновения. Посмотрим, как будет выглядеть эта картина на плоскости -ц. Так как кругу на плоскости и, v соответствует эллипс на плоскости тг], то состояние равновесия на плоскости u, тг] может быть окружено семейством эллипсов, вложенных друг в друга, стягивающихся к началу координат и являющихся циклами без прикосновения (рис. 229). Если изображающая точка пересечет граничный цикл без прикосновения (самый большой из этих эллипсов), то она необходимо начнет пересекать все остальные, асимптотически стремясь к особой точке.
2. Если X1 и Xa оба положительны, то кривая Ф (и, v) = 0 опять имеет в начале координат изолированную точку, а поверхность Z= Ф (и, V) теперь уже имеет не максимум, а минимум в начале координат. Отсюда следует, чго существует область (область S) 312
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
вокруг начала координат, в которой Ф (и, v) 0 (за исключением точки и = 0, V = О, так как Ф (0, 0) = 0).
Докажем, что в этом случае состояние равновесия неустойчиво. Возьмем в качестве области є область, ограниченную кругом, целиком лежащим в области 5 (рис. 230). Можно показать, что нельзя выбрать область 8, охватывающую начало, такой, чтобы изображающая точка, помещенная в любую точку этой области, никогда не достигла границы области е. Применим доказательство от противного. Положим, что такая область существует. Поместим тогда изображающую точку в момент t = t№ в какую-нибудь из точек этой области, не являющуюся началом координат. Так как для всей области 5 (кроме
