Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
R \
что то же самое, при ? <СРкр = г(д_ \ J и разрывные при А^>Акр
(или при ?^>?Kp)4). Заметим, что в последнем случае рассмотренная нами упрощенная модель не отображает законов движения реальной схемы: вблизи состояния равновесия в этом случае происходят «быстрые» движения, скорости которых определяются не уравнениями (5.29), а малыми паразитными емкостями схемы, и тем больше, чем меньше
эти емкости. Поэтому было бы более правильным назвать область р
на диаграмме рис. 227 не областью «седла», а областью
«быстрых» движений (скачков), уводящих систему от состояния равновесия.
') В самом деле, дискриминант уравнения является полиномом второй степени относительно k, положителен на оси k = 0 и на гиперболе ft = 1 -(- — и отрицателен на гиперболе (5.32). В силу непрерывности зависимости дискриминанта от k между гиперболами (5.32) и k = 1 + , а также между гиперболой
(5.32) и осью ? = 0 должны проходить ветви кривой (5.33). В каждой из этих областей проходит по одной ветви кривой (5.33), так как уравнение (5.33) по каждому ? определяет только два корня для k.
") Именно из-за того, что в схеме возможны как непрерывные, так и разрывные автоколебания, она и была названа «универсальной». 308
динамические системы первого порядка
[гл, iv
§ 4. Состояния равновесия. Устойчивость состояний равновесия
От частного случая линейной системы вернемся снова к общему случаю динамической системы, описываемой двумя дифференциальными уравнениями первого порядка:
? = Р(х,у), ^- = QiXt у). (5.1)
Пусть соответствующее фазовое пространство является плоскостью jc, у, где jc и у — декартовы координаты.
Чтобы отыскать на фазовой плоскости состояния равновесия, нужно найти те точки фазовой плоскости, где фазовая скорость равняется нулю, или, иначе, нужно найти точки пересечения кривых
Р(х,у) = 0, Q(x,y) = 0. (5.34)
Как мы уже знаем, эти точки будут особыми точками дифференциального уравнения первого порядка, определяющего интегральные кривые:
dy_Q(x,y) (53)
dx P (х, у) '
В этом смысле мы будем говорить, что состояния равновесия нашей динамической системы суть особые точки семейства интегральных кривых на фазовой плоскости.
Перейдем теперь к исследованию устойчивости состояний равновесия. Напомним определение устойчивости и неустойчивости для этого общего случая. Состояние равновесия называется устойчивым, если, задав вокруг состояния равновесия любую область є, всегда можно найти соответствующую область 8 (є) такую, что помещенная в область 8 (є) (при t = („) изображающая точка никогда (при t („) не выйдет из области є. Состояние равновесия называется неустойчивым, если существует такая область є вокруг состояния равновесия, что для нее нельзя подобрать область 8(e), обладающую только что указанным свойством. Пуанкаре [185] и Ляпунов [84] дали аналитический метод исследования устойчивости состояний равновесия. Мы изложим этот метод и дадим его обоснование.
Мы интересуемся устойчивостью состояния равновесия jc0, у0 (jc0, у0 — точки пересечения кривых P (х, у) = 0 и Q(jc, _у) = 0). Так как это значит, что мы интересуемся характером движений при наличии некоторых отклонений от состояния равновесия, то для удобства выкладок мы введем вместо переменных jc, у новые зависимые переменные I, Т|, определив их как смещения относительно положения равновесия (на фазовой плоскости):
Jf = Jf0 + ?. У =Ув + 7I-
(5.35) § 41
состояния равновесия. устойчивость
309
По нашему предположению Р(х,у), Q(x,_y) —аналитические функции. Переходя от переменных X, у к переменным тг) в уравнениях (5.1), получим:
dl dt
; = aU + b-n + [Pn? + 2 P^ +/зд* +...],
fl dt
¦1 = cl + d-ч + [q^ + Iqxfa + qrf +•••],
(5.38)
где
a = P'x (x0, _y0), b = Py (x0, _Vo)» с = Q'x (x0, _y0), d=z Q'y (x0, _y0)
и т. д.
Обоснованный Ляпуновым метод исследования устойчивости сводится к следующему. Отбросим в уравнениях (5.34) нелинейные члены. Мы получим тогда систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, так называемую систему уравнений первого приближения:
dI dt
= as b-rj,
Tt=*+ d^
(5.37)
Решение этой системы уравнений напишется сразу, коль скоро нам известны корни характеристического уравнения:
— X b
X
= 0.
Ляпунов показал, что в случае, если оба корня этого уравнения имеют отличные от нуля действительные части, то исследование уравнений первого приближения, полученных путем отбрасывания нелинейных членов, всегда дает правильный ответ на вопрос об устойчивости состояния равновесия в системе (5.1). Именно, если оба корня имеют отрицательную действительную часть и если, следовательно, все решения уравнений первого приближения затухают, то состояние равновесия будет устойчивым; если же хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, т. е. если система уравнений первого приближения имеет нарастающие решения, то состояние равновесия неустойчиво.
Перейдем к доказательству этих утверждений Ляпунова. При этом рассмотрим отдельно случай действительных X и случай комплексных X.
