Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 233.
=«.-ф(0,
„du _ E — и _ .
"dt ~R 1'
(5.43)
где ф(г') = щ — напряжение на дуге, являющееся однозначной функцией силы тока і, протекающего через дугу (графически мы изображали эту зависимость — статическую характеристику дуги — так, как это указано на рис. 234).
Состояния равновесия системы определяются из условий
du di n
r = 0 и -тг = 0,
из которых
dt dt получаются уравнения:
U = E-Ri, н = ф(г). (5.44)
Рис. 234.
Следовательно, состояниями равновесия являются точки пересечения этих прямой и кривой. В зависимости от величин E и/? этих точек может быть либо одна (рис. 235), либо три (рис. 236). Для анализа устойчивости состояний равновесия мы по методу Ляпунова подставляем в уравнения (5.43) гг=гг0-)-7] и г'=г'0-)-Е, где щ и /0 — значения, соответствующие какому-либо из состояний равновесия. Далее, разлагая характеристику дуги ф(і0 + 5) в ряд ф(г0-)-?)=ф(»о) + ?ф'('о)-+- • • • 318
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ V
и ограничиваясь первым членом ряда, мы получим два уже линейных дифференциальных уравнения для ? и т) (так как г0 и и0 удовлетворяют условиям (5.44) и все члены, их содержащие, вместе дадут нуль):
dy_____
dt RC С '
dt L L '
где р = (? — тангенс угла наклона характеристики дуги в точке, соответствующей данному состоянию равновесия (величина размерности
Рис. 235. Рис. 236.
сопротивления). Сопротивление дуги р — величина переменная, которая при некоторых значениях i0 может принимать отрицательные значения; однако, пользуясь этим понятием, нужно помнить все оговорки, которые мы сделали, когда впервые ввели термин «отрицательное сопротивление» (гл. I, § 6).
Характеристическое уравнение этой системы дифференциальных уравнений в виде детерминанта запишется так:
откуда
^(ж + тНіИі+1) = 0- (5-46>
Характер корней уравнения зависит от значений четырех параметров: R, С, L и р. Для того чтобы выяснить характер этих корней при всех возможных значениях параметров, мы построим три диаграммы: раз-
(5.45) § 5] пример: состояния равновесия в цепи вольтовой дуги 319
биение плоскостей параметров схемы на области, каждая из которых соответствует определенному типу состояний равновесия, именно, разбиение плоскостей R, р; L, р; С, р; при этом нужно иметь в виду, что L, С и R могут принимать только положительные значения, в то время как р может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Для построения первой диаграммы R, р приведем условие комплексности корней к виду
[L — RCp]2 — [2/? /ІС]2 < 0. (5.47)
Граница области комплексных корней определяется уравнением четвертого порядка (относительно R и р), которое распадается на два уравнения второго порядка:
L-RCp-J-2R /LC= 0;
L — RCp — 2R /LC= 0.
Каждое из этих уравнений определяет гиперболу; уравнения их отнесены к асимптотам, причем одной из асимптот для обеих кривых
является ось р, а другой: для первой кривой — прямая р = — 2 ^/"g1
и для второй — прямая р = 2
«Кривой клин», образованный обеими гиперболами / и 2 (рис. 237), как легко видеть, и представляет собой область комплексных корней. Границей области корней с положительной действительной частью, т. е. границей области устойчивости узлов и фокусов, является кривая L-J-RCp = O, т. е. гипербола 3 с осями р и R в качестве асимптот, расположенная в четвертом квадранте
и пересекающая гиперболу 1 в точке R= и P = —
(см. рис. 237). Очевидно, что все узлы и фокусы, лежащие выше этой гиперболы, устойчивы, лежащие ниже — неустойчивы. Наконец, границей области седел является прямая 4, определяемая уравнением R -J- р = 0, так как при R-J-P <^0 корни уравнения (5.46), как известно, всегда будут разных знаков. Очевидно, что область, лежащая ниже прямой р = — R, является областью особых точек типа седла. Мы получаем в результате для параметров Rh р диаграмму разбиения плоскости этих параметров на области различных типов особых точек, приведенную на .рис. 237.
Как видно из этой диаграммы, при р^>0 (выше оси R) существуют только устойчивые особые точки. Эти точки будут фокусами, если р (сопротивление дуги, т. е. сопротивление в контуре) не слишком велико и сопротивление нагрузки, шунтирующей контур, не слишком мало. При р 0 (падающие участки характеристики) 320
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ v
состояния равновесия могут быть устойчивы, только если |р| не слишком велико и, с другой стороны, R не слишком мало и не слишком велико. При р<^0 возможны все три типа неустойчивости: неустойчивый узел, неустойчивый фокус и седло. Далее фокус
1 Hвуст, узлы
Рис. 237.
(устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака р) получается при |р|<^2 "|/"gr, если R достаточно велико, и это условие аналогично условию осцилляторности для обычного линейного контура.
Вообще при р<^0 и I P I < 2 У-- можно, изменяя величину R,
получить любую особую точку, если же р<^0 и | p | 2 "j/"^-,
то возможны только неустойчивые особые точки — либо седло, либо неустойчивый узел в зависимости от величины параметра R.
