Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 120

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 335 >> Следующая


Итак, мы обосновали метод Ляпунова, заключающийся в отбрасывании нелинейных членов для случая, когда корни характеристического уравнения не равны между собой и имеют отличные от нулей действительные части. Ограничение, связанное с отсутствием равных корней, несущественно, — мы его приняли лишь для упрощения доказательства. Ограничение, связанное с наличием действительных частей, отличных от нуля, у обоих корней характеристического уравнения, существенно. В предположении, что рассматриваемое уравнение — общего вида, оно не может быть устранено. Таким образом, теорему Ляпунова об устойчивости состояний равновесия в нашем случае можно сформулировать так: если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны, то состояние равновесия устойчиво; если хотя бы одна действительная часть положительна, то состояние равновесия неустойчиво.

Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю или если один корень равен нулю, а другой отрицателен, то уравнения первого приближения не дают ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия.

Таким образом, устойчивость состояния равновесия системы (5.1) вполне определяется соответствующими уравнениями первого приближения (5.37) в том случае, когда оба корня характеристического уравнения имеют отличные от нуля действительные части. Можно показать (мы на этом здесь останавливаться не будем), что в этом случае уравнения первого приближения определяют не только устойчивость состояния равновесия, но и характер фазовых траекторий в достаточно малой его окрестности. Более того, состояния равновесия (особые точки), для которых действительные части обоих корней характеристического уравнения отличны от нуля, являются грубыми: их характер, т. е. характер фазовых траекторий в их достаточно малой окрестности, сохраняется при любых достаточно малых изменениях правых частей уравнения (5.1) — функций Р(х, у) и Q (х, у) (при условии* что достаточно малыми являются также и их производные первого порядка; подробнее см. гл. VI, § 4). Таким образом, совершенно так же, как и в § 2, мы имеем здесь пять типов 316

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

[гл. ¦ V

грубых состояний равновесия: устойчивый узел, неустойчивый узел, устойчивый фокус, неустойчивый фокус и седло. Для исследования характера грубых состояний равновесия удобно пользоваться диаграммой, приведенной на рис. 223. В нашем случае

О = — [Р'х (Хф Л) + Qy (•*(» Л)]

д =

Р'х (*0>.Уо) QH-^O. Л)

Py (хо, Л) Qy (хо> Уо)

(5.42)

Грубым состояниям равновесия соответствуют все точки плоскости параметров о, Д, лежащие вне оси Д = 0 и полуоси о = 0, Д]>0, которые на рис. 223 изображены жирной линией. В случае узла и седла, как мы знаем, интегральные кривые входят в особую точку по двум направлениям, которые, само собой разумеется, также могут быть определены из соответствующих линейных уравнений. Пользуясь результатами § 2, мы можем написать для определения угловых коэффициентов этих направлений следующее уравнение:

Py (*о> Л) *9 + {Р'х (*о..Уо) — Qy (хо'Уо) }* — Q'x .Уо) = о.

Точкам оси Д = 0 и полуоси о = 0, Д^>0 соответствуют негрубые состояния равновесия (негрубые особые точки), т. е. такие

состояния равновесия, характер которых может быть изменен сколь угодно малыми изменениями правых частей уравнений (5.1) (при сколь угодно малых изменениях функций Р(х, у) и Q (л:, у) и их производных). Именно поэтому их характер (и в частности, устойчивость) не определяется линеаризованными уравнениями — уравнениями первого приближения (5.37). Точкам полуоси о = 0, Д>0 могут соответствовать состояния равновесия как типа центра, так и типа устойчивого или неустойчивого фокуса, точкам оси Д = 0 — так называемые сложные особые точки, простейшая из которых (точка типа седло-узел) изображена на рис. 232 *).

Рис. 232.

') Сложные особые точки (сложные состояния равновесия), т. е. такие особые точки, для которых Д = 0, очевидно, являются точками соприкосновения кривых Р(х, у) = 0 и Q (х, у) = 0. В силу этого сложная особая точка при сколь угодно малых изменениях функций P(х, у) и Q (лг, у) может либо распасться на две (или даже на большее число) особых точек или исчезнуть. Особые точки, для которых Д^0, носят название простых, их число не может изменяться при достаточно малых изменениях функций Р(х, у) и Q (х, у). § 5] пример: состояния равновесия в цепи вольтовой дуги 317

§ б. Пример: состояния равновесия в цепи вольтовой дуги

—MZVWWyv-R

7ШЯГ

L

I'

0



В качестве примера, иллюстрирующего применение методов Ляпунова для определения устойчивости состояний равновесия, рассмотрим состояния равновесия в цепи вольтовой дуги, включенной последовательно с индуктивностью и зашун-тированной емкостью (рис. 233). Эта схема представляет собой некоторое видоизменение схемы дугового генератора; рассмотренная выше нами схема вольтовой дуги с одной индуктивностью (гл. IV, § 5) получается из этой схемы в предположении, что она не содержит емкости (C=O). Предполагая, что tqk через дуговой промежуток является функцией напряжения на дуге, т. е: снова пренебрегая инерционностью ионных процессов в дуге, нетрудно при помощи законов Кирхгофа получить следующие уравнения колебаний в схеме (они записаны в обозначениях, приведенных на рис. 233):
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 335 >> Следующая

Реклама

Мужские спортивные штаны серые купить

купить серые спортивные штаны мужские

sportmagaz.com.ua

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed