Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для схемы дуги без индуктивности, но с емкостью, кроме уравнения (5.48) имеем:
Cg = -Jr-, (5.49)
(мы пишем уравнение сразу для отклонений напряжения и тока от их равновесных значений). Характеристическое уравнение для системы линейных дифференциальных уравнений (5.48) и (5.49) имеет вид:
(1+^)+^ + (1 HH (5-50)
и следовательно, состояние равновесия на падающем участке статической характеристики (р с 0) будет устойчивым, если
Ip I < R и
Эти условия выполняются при достаточно больших сопротивлениях R и при достаточно малых емкостях С. Таким образом, схема дуги с малой емкостью (например, с С С т/| р I) будет иметь устойчивое состояние равновесия на падающем участке характеристики и без всякой индуктивности в ее цепи, если только I р I С R. Этот вывод находится в качественном согласии с экспериментальными данными.
11* 324
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
§ 6. Предельные циклы и автоколебания
После рассмотрения состояний равновесия перейдем к периодическим движениям, которые, как мы знаем, могут встречаться в системах, описываемых уравнениями
dJL = Pix,у), d^ = Q(x,у). (5.1)
Если T (7"^>0) — наименьшее число, для которого при всяком t
x(t-\- T) = x(t), y{t+T)=y(i),
то движение X = X (t), у =у (t) называется периодическим движением с периодом Т. Как мы знаем, периодическому движению соответствует замкнутая фазовая траектория на фазовой плоскости л:, у, и обратно: всякой замкнутой траектории соответствует бесчисленное множество периодических движений, отличающихся друг от друга выбором начала отсчета времени. Замкнутые фазовые траектории мы уже встречали при рассмотрении консервативных систем, где они всегда образовывали целые континуумы траекторий, вложенных одна в другую (например, траектории вокруг особой точки типа центра). В рассмотренных нами примерах автоколебательных систем (генератор с !-характеристикой, часы; см. гл. III, §§ 3—5) периодическому движению на фазовой плоскости соответствовала изолированная замкнутая кривая, к которой с внешней и внутренней сторон приближались (при возрастании t) соседние траектории по спиралям. Такие изолированные замкнутые траектории носят название предельных циклов. Простые примерыпозволяют убедиться, что и системы вида (5.1) с аналитическими правыми частями, вообще говоря, допускают в качестве траекторий предельные циклы.
Например, для системы dx
dt = + у + х\ 1-(*2+^)
dy
-dt=~x + y
- (x2 + V2)
траектория x2 +J'2 = 1 является предельным циклом. Его параметрическими уравнениями будут:
л: = cos (t — г0), у = sin (t — tB\
а уравнения всех других фазовых траекторий запишутся в виде: ^ _ cos (t — U) sin (t — t0)
V\ + OT21^V • V\ + Ce
2 (<-< I
Значениям постоянной интегрирования O-O соответствуют фазовые траектории, накручивающиеся па предельный цикл изнутри (при t—*-\- сю), а значениям О >¦ С >¦ — 1 — траектории, накручивающиеся снаружи. § 6] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И АВТОКОЛЕБАНИЯ 325
Мы будем называть предельный цикл устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, — окрестность (є), что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности (є), асимптотически при t -*¦ со приближаются
к предельному циклу. Если же, наоборот, в любэй сколь угодно малой окрестности (є) предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t -*¦ со, то такой предельный цикл будем называть неустойчивым. Для иллюстрации сказанного на рис. 240 изображен устойчивый предельный цикл, а на рис. 241 и 242 — неустойчивые предельные циклы. Заметим, что неустойчивые циклы, подобные изображенному на рис. 242, такие, что все траектории с одной стороны (например, извне) приближаются к ним, а с другой стороны (например, изнутри) удаляются от них при ?->-[- оо, иногда называют «полуустойчивыми» или двойными (последнее название обусловлено тем, что обычно такие циклы при подходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которых устойчив, а другой неустойчив).
Наряду с устойчивостью предельного цикла как траектории, определение которой было только что дано (ее часто называют орбит-ной устойчивостью), можно говорить об устойчивости в смысле 326
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
Ляпунова периодического движения, соответствующего предельному циклу. Именно, периодическое движение дг =z>(t), _у = <])(?) (с периодом Т, так что ср (t -f- Т) = ф (0 и ф (t -f- 7") = ф (t)) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для каждого заданного положительного г можно подыскать такое положительное 8, что для любого другого движения x = x(t), y=y(t), удовлетворяющего условиям
I *('„)-?('<>) I <8 и Lv(UK8-
выполняются неравенства:
1*(0-<р(01<е и 1^(0 —Ф(01<е
при любых t^>tr Ниже мы будем пользоваться главным образом понятием орбитной устойчивости предельного цикла.
Устойчивость предельного цикла (равно как и устойчивость в смысле Ляпунова соответствующих периодических движений) определяется знаком его «.характеристического показателя»
