Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
начала координат) Ф (и, v) = 0,
то изображающая точка с возрастанием времени монотонно удаляется Рис. 230. от начала; это может нарушиться
лишь при выходе изображающей точки из области 5. Обозначим через р0 значение и* -f- V2 в момент времени t = t0 и через ре значение UiArVi для границы области е. Очевидно, что в кольце между окружностями р = р0
и р = ре Ф (и, V) или, что то же самое, имеет некоторый положительный нижний предел. Поэтому изображающая точка будет удаляться от начала координат со скоростью, отличной от нуля, и в конечное время дойдет до границы области є'). Мы пришли таким образом к противоречию, и значит, нужной области 8 отыскать нельзя. Состояние равновесия является неустойчивым по Ляпунову.
Как и в предшествующем случае, все качественные утверждения без изменения переносятся на плоскость т). Заметим, что в этом случае на плоскости т) также существует семейство вложенных друг в друга эллипсов, служащих циклами без прикосновения. Изображающая точка, помещенная в достаточной близости к состоянию равновесия, неизбежно будет удаляться от него, пересекая все циклы без прикосновения.
') Если нижний предел функции Ф (и, v) в кольце Po ^ р ^ рг равен
1 (т > 0), то время прохождения кольца т < ———. СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ
313
3. Если X1 и X2 имеют разные знаки, то кривая Ф (и, г») = О имеет в начале координат узловую точку, а поверхность Z= Ф (и, г>) имеет в начале координат седлообразный экстремум. Отсюда следует, что вокруг начала чередуются области, в которых Ф (и, с областями, в которых Ф (и, г)) 0, причем границей раздела служит
Рис. 231.
кривая Ф (и, v) = 0 с простой узловой точкой в начале координат (рис. 231).
Мы можем это обстоятельство сформулировать еще и так: вокруг начала координат существует окружность с центром в начале координат и с радиусом, отличным от нуля, которая пересекает кривую ф (и, г)) = 0 четыре раза. Назовем область внутри этой окружности областью 5; эта область 5 разбивается кривой Ф (u,v) = 0 на четыре внутренние области таким образом, что в двух из них Ф (и, v) ^> О, а в двух других Ф (и, г>)<^0. Докажем, что в этом случае состояние равновесия неустойчиво. Это можно сделать, если обратить внимание на знак вблизи начала координат. Дифференцируя еще раз
~ и заменяя и их значениями из дифференциальных уравнений, имеем:
Поверхность 2 = Фі (и, г)), как нетрудно убедиться, имеет минимум в начале координат. Следовательно, вокруг начала координат существует область S1, внутри которой Ф! (и, (за исключением точки м = 0, г) = 0, так как (0, 0) = 0) или, что все равно,
dt2
Перейдем теперь к самому доказательству. Возьмем в качестве области е область, ограниченную окружностью, целиком лежащую 314
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
как в области S, так и в области S1*). Нетрудно показать, что нельзя выбрать такую область 8, охватывающую начало," чтобы изображающая точка, помещенная в любую точку области 8, никогда не достигла границы области е.
Действительно, предположим, что такая область 8 существует. Так как она должна охватить начало, то в ней необходимо должны найтись точки, для которых Ф (и, v) 0. Поместим тогда изображающую точку в момент t = tu в какую-нибудь из таких точек
области 8, где Ф (и, v) 0 или, что все равно, ~ 0. Так как
при t = ^0 ^jf > 0 и так как во всей области S1 0 (область е
выбрана внутри области S1, а область 8 не может иметь частей, лежащих вне є), то наша изображающая точка начнет удаляться от начала координат с возрастающей скоростью и в конечное время достигнет границы области є 2). Мы пришли, таким образом, к противоречию. Нужной области 8 выбрать нельзя. Состояние равновесия является неустойчивым по Ляпунову. Ясно, что то же самое относится к соответствующему состоянию равновесия на плоскости -rj.
2. Случай комплексных корней характеристического уравнения. В этом случае, как мы знаем, линейную систему можно путем действительного линейного однородного преобразования привести к виду
du і , dvi , ,
-^ = O1K1-Ml. - = 6!?! + ^?,
где Cil и bi — действительная и мнимая части X (X1 = a -\-jb, Х2=а—Jb). Применим те же преобразования к нелинейной системе. Мы получим тогда снова нелинейную систему:
^L = OlUi-biV! + ...; = + + (5.41)
Умножая первое уравнение на и1; второе на D1 и складывая, получаем следующее выражение для квадрата радиуса-вектора р = и\ -\-v\:
T Ж = 01 (к' + ®i) + • • • = Ф ("i> ®i)-
•) Областью Е, в частности, может служить область S, которую всегда можно выбрать так, чтобы она была целиком расположена внутри области S1.
2) Нетрудно оценить это время т. Пусть. р, — квадрат радиуса круга,
ограничивающего область е. Пусть 7 (y > 0) — значение ~ в момент t = tt. Тогда в течение всего времени движения внутри области S1 ^ у; отсюда следует, что г< ———, § 4] СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ 315
Так как здесь точками обозначены члены третьей степени и выше, то нетрудно показать обычным путем, что ф(Ні, ^1) имеет максимум или минимум в начале координат в зависимости от знака O1. Повторяя в точности рассуждения, которые мы приводили в случае действительных корней, имеющих одинаковые знаки, мы найдем, что в случае состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и даже асимптотически устойчиво, а в случае состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову. В обоих случаях достаточно малые окружности вблизи начала служат циклами без прикосновения. При переходе к плоскости •*] это семейство окружностей превратится в семейство эллипсов без контакта, в которые интегральные кривые входят или выходят в зависимости от знака O1.
