Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
T
A = T J {Р'Л<?(*\ + dt, (5.51)
о
где x=v>(t), y = ty(t) — любое периодическое решение, соответствующее рассматриваемому предельному циклу, и T—период решения. Именно, предельный цикл устойчив при Ii <^0 и неустойчив при 0 (значению/г= 0 соответствуют как устойчивые, так и неустойчивые предельные циклы).
Для исследования устойчивости периодического движения x = f (t), у = 6 (t) в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить л: =ср (?) + ?, _у = <b (і) tj, подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений — функции P Of + ;, Ф + и Q (ср + с, + ¦»]) — в ряды по степеням 5 и ^ и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения («уравнения первого приближения») для координат «возмущения» 5- и
Tt = PAf (0, Ф (0]; + Py Г? (0, W)] 1. Tt = Qx [V" (0. + (0] 5 + Qy [? (0, $ (011-
Это — система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами иериода T (ибо Р'х, P'r Q'x, Qy суть функции от ср и і|/ — периодических функций времени с периодом Т). Общий вид ее решения таков:
S = C1Ai W е*1' +С,/1» (0еА,<> I = C1^1 (0 ev +С./„ (Qev'
где flk — некоторые периодические функции (с периодом T). От показателей hL и hо, которые носят название «характеристических показателей», зависит характер решений для ? и именно, знаки их действительных частей определяют, являются ли эти решения нарастающими или затухающими. предельные циклы и автоколебания
327
В рассматриваемой задаче (в силу автономности исходной системы уравнений' (5.1)) один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен h [185]. Знак этого показателя определяет, устойчиво ли движение [8], именно: периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова (правда, не абсолютно, так как возмущения по фазе не затухают), если h <с 0, и неустойчиво, если h >• 0; если же h = 0, то уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодического движения.
Прежде чем переходить к доказательству сформулированного условия устойчивости предельного цикла, мы _остановимся, забегая по некоторым пунктам немного вперед, на принципиальном вопросе о физической интерпретации изолированных замкнутых траекторий — предельных циклов.
Если мы потребуем, чтобы в реальных физических системах качественный характер возможных движений сохранялся при произвольных малых изменениях самих систем (на языке математики — при произвольных малых изменениях правых частей системы (5.1)), то, как это мы увидим в дальнейшем, мы этим запретим существование неизолированных замкнутых кривых. В системах, удовлетворяющих этому требованию устойчивости качественного характера движений при малых изменениях динамической системы, — в так называемых «грубых» системах, — могут быть только изолированные замкнутые траектории (только предельные циклы) и притом обязательно с характеристическим показателем, отличным от нуля (поэтому орбитная устойчивость предельного цикла влечет за собой устойчивость по Ляпунову всех соответствующих ему периодических движений).
С физической точки зрения представляет интерес следующее замечание, которое можно сделать относительно движений, отображаемых устойчивым предельным циклом. Именно, можно сказать, что для таких движений период и «амплитуда»1) не зависят от начальных условий в том смысле, что все соседние движения (соответствующие целой области начальных значений — так называемой области устойчивости в большом) асимптотически приближаются к периодическому движению по предельному циклу, которое имеет определенный период и определенную «амплитуду».
Вышеприведенные свойства периодических движений, отображаемых предельными циклами с отрицательными характеристическими показателями: а) устойчивость по отношению к малым изменениям самой системы; б) независимость (в указанном смысле) периода и «амплитуды» от начальных условий — составляют характерную черту реальных автоколебательных процессов.
Конкретное исследование уравнений вида (5.1), с которыми пришлось иметь дело в различных случаях автоколебаний, также показало на ряде примеров, что если уравнения (5.1) с достаточной точностью отображают законы движения реальной автоколебательной
Точнее следовало бы сказать: «период и весь спектр амплитуд, получающийся при разложении периодического движения в ряд Фурье». 328
динамические системы второго порядка
[гл. ¦ V
системы, то они обязательно имеют предельные циклы с отрицательным характеристическим показателем, и что стационарные периодические процессы действительно отображаются этими предельными циклами.
Отсюда мы делаем такой вывод: реальные автоколебательные процессы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями (5.1), математически соответствуют предельным циклам с отрицательным характеристическим показателем. Наличие таких предельных циклов в фазовом портрете рассматриваемой динамической системы является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе, т. е. для того, чтобы система была автоколебательной [3, 5].
