Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
, S=UnLSn
T=U0CR
Рис. 224. 304
динамические системы первого порядка
[гл, iv
изменения напряжений на сетках ламп, и поэтому линеаризация лишает нас возможности рассматривать поведение системы во всей области изменения переменных. Но в известной, ограниченной области мы
можем считать систему линейной и правильно описать ее поведение в этой области.
Кроме того, мы будем, как делали это и прежде, пренебрегать сеточными токами и анодной реакцией. В результате этих упрощаю-
щих предположений мы, исходя из уравнений Кирхгофа, получим для рассматриваемой схемы (в обозначениях рис. 226) следующие урав-
нения:
/V, = H2 — н„ R Qa + Ii) + H2 + /у, = E1
а>
r du, _ du, _ . (5.27)
Ч-af — h, ^ Yt'-J примеры линейных систем
305
причем в линейном приближении (для состояний, близких к состоянию равновесия: I1 = L2 = 0, и = 0)
1а-'-ай Su-іап -
-Sfo'i + 'V's).
где 5 — абсолютное значение крутизны падающего участка характеристики ламповой группы (ламп JI1 и JIi с общим катодным сопротивлением Rk) в рабочей точке (в состоянии равновесия). Дифференцируя первые два уравнения по времени и используя последние два, а также выражение для анодного тока лампы JIi, получаем два дифференциальных (линейных) уравнения первого порядка для токов Z1 и іг:
dl і
/ 1 , 1 \ . , 1 . — If^+ "г Itl+ Cr h
\ 01 Uj/ о 2
dt
г і
dt
или, если ввести k = RS:
(5.28)
dli dt'~
dia It
C1 + С
R + rs(\- RS) 0, r = r,+r2 и ? = ? (O^?^l), і \
'i + -
C2
C2
(1-І -A)-
R — pr(k — 1)
(5.29)
Чтобы определить характер особой точки (состояния равновесия 'i ='g = 0), составим характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений (5.29):
C1C, (1 — Р) г [« — ?r CA —
-h [R (С, + C2) — (k - 1) г (C1 + PC2)] X 4- 1 = 0. (5.30)
Характер корней X уравнения (5.30), а следовательно и характер особой точки, зависит от четырех безразмерных параметров схемы R С»
k> ?> —- и Выбирая различные значения этих параметров, можно г G1
получить все рассмотренные выше типы особых точек. В дальнейшем мы будем считать переменными параметрами только k и ? (первый из них может меняться путем изменения S, второй — путем измене-
R С
ния положения движка потенциометра г), а параметры — и —--
Г Ci
фиксированными.
Построим разбиение плоскости параметров k, ? на области, каждой из которых соответствует определенный тип особой точки 306
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ перВОгО ПОРЯДКА
[гл, iV
(рис. 227). Прежде всего при A = O мы получим два действительных отрицательных корня, т. е. особую точку типа устойчивого узла'). Этого и следовало ожидать, так как при A = O ламповая группа не
играет никакой роли, а в отсутствии электронных ламп в схеме, состоящей из емкостей и сопротивлений, могут происходить только затухающие апериодические движения, т. е. могут существовать только состояния равновесия типа устойчивого узла. Далее, при
(5.31)
коэффициент при Xа является отрицательным, и следовательно, мы имеем дело с особой точкой типа седла (границей области седла j. JL является гипербола A = 1 -j-
^Va
¦'.;.':•'.'/ Уст.узел. .'.'-.", •V.'xv,
Точкам, лежащим
гЗ'
Рис. 227,
знаком коэффициента при на гиперболе
A=I
под гиперболой A=I +
соответствует особая точка ~Р типа узла или фокуса. Устойчивость особой точки в этом случае определяется Этот коэффициент обращается в нуль
,R Ci+ Ct
г C1 + PCs
(5.32) ?^l,
положителен под ней и отрицателен над ней. Поскольку 0 =?
[ C1 + с, р — C1+ 'pCs
D
и гипербола (5.32) лежит под гиперболой A = I + —и, следовательно, является границей самовозбуждения схемы.
') Действительно, при k = 0 коэффициенты при Xs и X положительны, положительным является и дискриминант уравнения
їжс. + с^ + г^ + рс,)]»-
= [С,(Л + г)-
^C1C8(I-P) г [Л+ M = ¦ C8 (R + ?r)]a + 4CiCa [R + ?r]2 > 0. примеры линейных систем
307
Граница, разделяющая области действительных и комплексных корней (разделяющая области узла и фокуса), определяется условием равенства нулю дискриминанта характеристического уравнения (5.30), т. е. условием
[R (C1 -J-C4) — (A — 1) г (C1 -j- ?C,)]' -
— 4 C1C2 (1 — ?) г [R — ?r (А — 1)] = 0. (5.33)
Кривая, определяемая на плоскости параметров А, ? уравнением (5.33), как нетрудно видеть, имеет две ветви, одна из которых (граница неустойчивых узлов и неустойчивых фокусов) проходит между
P
гиперболами (5.32) и A=I-J-^, а другая—под гиперболой (5.32),
но над осью A = O').
Если условие самовозбуждения соблюдено и особая точка является неустойчивой, то мы можем лишь утверждать, что система уходит из состояния равновесия, и можем определить характер этого движения, но ничего не можем сказать о дальнейшей судьбе системы, так как мы ограничились линейными уравнениями. Анализ нелинейных уравнений «универсальной» схемы (см. гл. X, § 10) показывает, что при выполнении условий самовозбуждения в схеме уста-
навливаются автоколебания: непрерывные при А Altp =I-J--^ (или,
