Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Практическое использование изложенного метода показывает, что метод редукции для системы (8.11) быстро сходится и при Ж А* (для системы (8.16) при А < A0) вплоть до малых значений А. Это следует из того, что в (8.1) || Мф || а/||Ьф|| а->0
H1/ H1
при Л0 для любого ф(ж) вида (8.2), где и*(і)є^(-1, 1); Редукцию системы (8.11) целесообразно производить так, как это описано в § 1.
Для четного варианта интегрального уравнения (8.1) можно повторить все приведенные выше результаты [21], но с использованием спектрального соотношения (7.24).
2. Вновь рассмотрим интегральное уравнение (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2, и пусть, в отличие от случая, рассмотренного в п. 1, для символа ядра К (и) справедливо не условие (8.1) гл. 2, а условие (8.23) гл. 2. В § 3 показано, что в этом случае ядро (1.3) гл. 2 можно представить в форме (3.21), где функция m2(t) принадлежит Hi(—R, R) (^ = 1 — є, i?<°°) и исчезает при Ul-*¦ -> °°. Интегральное уравнение (7.1) гл. 1 с учетом (3.21) может быть записано в виде (8.1), где теперь
і і
Ьф= J ф (I) Z0 Мф = J ф (S)mJL-Ljdg. (8.17)
-I ' -1
Пусть по-прежнему / (х) є Я? (— I, I) (V2 < а < 1); тогда для уравнения (8.1), (8.17) справедлива теорема 2.13. Еще заметим, что спектральное соотношение (7.15), связанное с оператором L вида (8.17), порождает следующее условие ортогональности функций Матье:
1
Cei (arccos х,—ф CQj (arccos х, —q)- dx ^ (
~ 1 я/2 (I = /)
(8.18)
и совокупность {ce„(arccosa:, —q); п = О, 1, ...} представляет со-'бой замкнутую ортогональную систему функций в гильбертовом пространстве (—1,1).
Далее остановимся на изучении случая, когда функция f(x) в интегральном уравнении (8.1) — четная. Тогда будет четной и функция со (ж) в выражении (3.3) гл. 2 для ф(ж), причем в силу теоремы 2,13 <а(х)<=-Щ(— 1,1) (V2 < Y < 1) • Будем искать
функцию со (ж) в виде ряда
OO
со (ж) = 2 Щ ce2ft (arccos X1 —q), q = (2Ак)~2, (8.19)
§ 8. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
169
Функцию f(x) и регулярную добавку ядра m2(t) в (8,1), (8,17)' также разложим в ряды по системе {ce2n(arccos х, —q)}:
С»
/ (х) = 2 fh oe2h (arccos х, —q), ft= о
(8.20)
OO OO
т2 ) = 2 2 втп M СЄгт (arccos — (?) ce2n (arccos х, — q),
\ / 771=0 П=0
где в силу (8.18) будем иметь
і і
4 ГГ /|-.г \ ce2m(arccos|,-g)ce2n(arccosa:,-?)
Єтп { ) - я2 Ji J1 ( * J V(i-l2)li-x2)
(8.21)
л-ll".............
/ (г) ce2ft (arccos — 9) Kl- г2
На основании указанных выше свойств функций ю(ж), f(x) и пг2(?) можно заключить, что ряды (8,19), (8.20) равномерно сходятся к этим функциям при всех Ы < 1, ||| < 1 и Х>0.
Сделаем в первом равенстве (8.21) замену переменных по формулам
г] = arccos I, у = arccos х (8.22)
и подставим в него выражение (3.21) для m2(t). Интегрируя полученное соотношение по г] и по у, используя равенство [23]
С»
Ce2n (г), q) = q) 2 J2i (2 Vq sh т]) (8.23)
0 i=0
(в (8,23) Ce2n(г), q) — модифицированные функции Матье), представим коэффициенты етп(Х) в виде
X
. ,,, . lVn+n 4 ГГ /shu\ 1
етп W - (- 1) Сб2т (0i q) C02n (0t q) J ^ A Jcth U I
XCe2m (и, q)Ce2n(u, q) du. (8,24)
Выражение (8.24) удобно для практического вычисления бтп •Лемма 3,6. При больших значениях т и п для коэффициентов етп(К) вида (8.21), (8.24) имеет место следующая оценка:
Iemn(X)I < Mi(K)InW-I)]-1. (8.25)’
170 ГЛ, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Для доказательства снова произведем в (8.21) замену переменных по формулам (8,22). Используя гог факт, что [23]
С»
се2п (г), — q) = (— 1)” (— 1)М(224П) cos (2іц) ~ cos (2пц) (ге-> оо),
І=0
получим соотношение
я я
/л ч 4 C C І соs г] — cos у
Єтп{К)-----------И “ '--------'------
Jt J J
O O
тег!—---------------1 cos (2тц) cos (2пу) dt\ dy (8.26)
при достаточно больших тип. Далее, интегрируя (8.26) один раз по частям по rj и один раз по у, придем к равенству
ЯЯ
e»n(^)~-2"4—I \т1\ ——Ц—^/sinrj siny sin(2mrj) s'm(2ny) dn dy.,
П к тп JJ\ I
о о
(8,27)
Поскольку т2 (Z) ~ M2 In 1Z1 при Z-*- 0, то, как легко заметить (см. § 3), \т"2 (Z) — M2 In IZI ] є Я“ (— R, R) (R< °°) . Преобразуем теперь выражение (8.27) следующим образом:
Я Я
Єтп{Ц-------гі— f fln I co&-7-"0S- [cos(2/re—l)r]—cos(2m + l)r|]x
2.T /.mn JJ I Л
о о
я я
: sin у sin 2ny dr] dy -\--------^2--------- Wm2
л X mn JJ L
M2 In
о о
COS Г] — cos у
COS T] — cos у
.... -Ill III? I ¦ л K mn
jsin T] sin у sin 2тц sin 2ny dr| dy. (8.28)
Второе слагаемое в (8.28) может быть оценено в силу достаточной гладкости подынтегральной функции при помощи интегрирования по частям выражением M,[Vn(Am2 — I)]-1. Оценим первое слагаемое. Для этого произведем в нем обратную замену переменных согласно (8.22), воспользуемся спектральным соотношением
(6.11) гл. 2 и условием ортогональности (6.4) гл. 2 полиномов Чебышева первого рода. Убедимся, что оно мажорируется выражением Л/4[А2п(4те2 — I)]-1. Тогда, как нетрудно заключить, имеет место оценка (8.25), и лемма доказана.
