Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.6)
где V(a, у), (?(а)—трансформанты Фурье соответственно функций v(x, у) и q (х). Удовлетворяя теперь с помощью формулы
(1.6) краевым условиям (1.1) основной задачи, заключаем, что неизвестные контактные давления под штампом ср(х') = = [(3 — 2v)0]-1 q(x), х = х'а находятся из интегрального уравне-. ния (7.1), (7.11) гл. 1, причем
I = Iч j(x')=g{x)a-\ % = па-' = агЧЪ{4G)-\ O = G(I-V)"1*
K{m\ = L{l)=v-.........¦¦¦ (3-2vLK1.+ ^. (1.7)
Fi+ S2-4a-v)?2(iu - Vi + ?)
Штрихи здесь и далее у безразмерных переменных будем опускать.
Нетрудно убедиться, что для символа ядра К (и) вида (1.7) имеют место асимптотические представления
К(и) = Д-.[і + —:i~V) -і + (1-*>(*-.»> + оЩЛ] (| и|->оо)„
I “ I L 2 (3 — 2v) и 4 (3 — 2v) м4 [ив)\ 41 '
(1.8)
К (и) = (3 — 2v) I и |-1 [1 — 4 (I — v) и* + О (I и I гг2)] (и 0),
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
185
из которых следует, что рассматриваемая задача действительно является задачей типа Ь). Как показано в § 1 гл. 2, для ядра интегрального уравнения (7.1), (7.11), (7.13Ь) гл. 1 справедливо представление (1.9) гл. 2, а в силу первой формулы (1.8) имеют также место соотношения (8.24) — (8.26) гл. 2. В последних, однако, постоянная d2о будет бесконечной.
По физическому смыслу рассматриваемой задачи безразмерный параметр Я должен быть небольшим. Отвлекаясь от этого, тем не менее заметим, что^ри больших значениях Я асимптотическое решение задачи может быть найдено по схеме, описанной в § 8 (п. 2) гл. 2. Например, для плоского штампа будет справедлива формула (8.31), Формула (8.32) не может быть использована в силу бесконечности ПОСТОЯННОЙ (Z20-
2. Чтобы получить решение задачи при малых Я, аппроксимируем символ ядра (1.7) с учетом его свойств (1.8) выражением
и2- -f- h2 /г?
К., (и) = 1V, -| = 3 — 2v. (1.9)
I “|(“ +4) h2
При V = 0,3 здесь hi = 0,696, h\=0,290 и погрешность аппроксимации (1.9) не превосходит 1,8%. Теперь вместо интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.9) гл. 2, (1.9) рассмотрим интегральное уравнение с возмущенным ядром типа (1.5) гл. 2, а именно
і
j ф(Qke (Цр) = л/(х) (М<1)„
-1 (1.10)
OO
С ( м2 4- /г.? ) COS ut
K(t) = \ _ > M- .-------------du.
VU2- + е3 (и2 + /г2)
При є Tfc 0 уравнение (1.10) принадлежит типу а). Поэтому главный член асимптотики его решения при малых Я может быть представлен в форме (10.29), (10.35) гл. 2. Именно, для случая плоского штампа получим при в О
»<*>(111) *(,) - w,-hjVK e_Ver,i(
где С — постоянная, обратно пропорциональная е, erfi (ж) = = — ievi(ix), erf а: — интеграл вероятности. Величину силы, вдавливающей штамп, найдем по формуле
X
No = С Jil) (и — y)ty(y)dy = Cb(X) = (1.12)
186 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Чтобы вычислить интеграл в (1.12), применим теорему о свертках для преобразования Лапласа — Карсона [2]. Именно, заметим, что трансформанта Лапласа — Карсона от интеграла в (1.12) равна 4F2 (р)р~\ где 4F (р) — трансформанта Лапласа — Карсона функции ф(г/). Находя оригинал выражения W2(р)р~\ получим
мч-3 +
і—1-
hi
2 (A1 - H2)2 Ii1X
2ft.
exP-T1- (1-13)
Исключая постоянную С в (1.11) с помощью (1.12), окончательно будем иметь
Nn / \ 4- х\ (1 — х
ф'(ж)
Xb (X)
0^l1'
(1.14)
Нетрудно убедиться, что при Я -*¦ 0 полученное асимптотическое решение (1.14) вырождается в классическое [3]
ф(я) = Nо (яV1 — ж2)-1.
(1.15)
Здесь нужно принять во внимание, что erfi(Yx) ~ ex(nx)~l/z при X-*- оо. При Ж 1,2 погрешность приближенного решения (1.14) ве превосходит 3%.
На основании полученных результатов интересно выяснить, при каких значениях параметра Я решение (1.14) контактной задачи с учетом влияния моментных напряжений наиболее отличается в количественном отношении от классического (1.15).
Таблица 4.1
к
0 0,3 0,4 0,5
0 0,3183 0,2307 0,2266 0,2324
0,2 0,3249 0,2378 0,2356 0,2423
0.4 0,3473 0,2644 0,2693 0,2768
0,6 0,3979 0,3342 0,3463 0,3561
0,8 0,5305 0,5443 . 0,5586 0,5620
В табл. 4.1 приведены значения величины ф (х) Nq1sc подсчитанные для различных Я. Как видно, наибольшее отклонение от классического решения (Я = 0) получается при Я = 0,4. Именно, в этом случае значения контактного давления в центре линии контакта (ж = 0) отличаются в 1,4 раза. В то же время коэффициент при особенности (1 — x2)~i/2 на краю линии контакта (х = = ±1), полученный по моментной теории, в 3,4 раза больше соответствующего классического значения.
§ 2. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
187
§ 2. Сведение интегрального уравнения задач типа Ь) к линейной алгебраической системе
Допустим, что для символа ядра К (и) задач типа Ь) имеют место асимптотические соотношения
і + о(-т
и
(и оо),
к (и) = JL1 [I +O(Ut)I (u_^0)j (21)
аналогичные (1.8). Представим символ ядра К (и) в форме
ЛГ(в) = 1и1-1[1 + /(в)], (2.2J
где функция 1(и) является непрерывной при кє[0, ®] и в соответствии с (2.1)
1(и) = 0(и-г) (в-оо)', I(O) = B-L (2.3)
Далее понадобится [4]
