Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Il CO* Il v<0* {%) 11/11 а; (8.3)
U0 H1
0*(Х)—ограниченная при любом К ^ (0, °°) постоянная.
Заметим теперь, что спектральное соотношение (7.21) порождает следующее условие ортогональности '):
,0 ІІФП'
^/ch 2 г —ch 2 т-g
і
I
я (8.4)
21/21
(» = /).
где {J и г имеют вид (7.20). По аналогии с (8.4) введем скалярное произведение и норму
(^>=j і'Р-Іуййш-* <8-5>
Замыкание пространства нечетных непрерывных функций в норме (8.5) образует гильбертово пространство, которое обозначим через L1Jt (—I, I). В этом пространстве совокупность (T12ntl(P); п = 0, 1, ...) представляет собой замкнутую ортогональную систему функций.
Остановимся, далее, на изучении нечетного варианта интегрального уравнения (8.1); именно, будем предполагать, что функция /(ж) — нечетная. Тогда и функция ю*(ж) в (8.2) будет нечетной. Кроме того, очевидно, что функция (о*(ж), принадлежащая Щ(— I, 1), тем более принадлежит L'J* (— I, 1). Будем искать функцию ю*(ж) в виде ряда
OO
{х) = 2 і («)* (8-6)
к=О
причем в силу равенства Парсеваля
Il ю* IU = II KI?a=S®Aa- (8-7)
2* ft=0
Функцию f(x) и регулярную добавку ядра mt(t) в (8.1) также
') Это условие ортогональности может быть также получено из (6.4) гл. 2 с помощью замены переменной (7.20).
ГЛ, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
разложим соответственно в одинарный и двойной ряды по системе функций Тгп+1(а). Будем иметь
с»
f(x) = 2 І J 2ft+l(“).
ft=0 (8,8)
OO OO
Ttl1 (t) = 2 2 e™n 2m+! (P) + 1 (a) \ ~ '
I
m=o n—O
Пользуясь условием ортогональности (8.4), для /? и ^mn (X) по-лучим выражения
1
Я J l/сії 2г— ch 2г| .
em„ (X) = §? Г Г {t) T2m^ (Р) Г~п '¦ 1 (а)- —ch ch г х dl dx.
я (eh. 2г—ch2r|)(ch2r— ch2rx)
В силу указанных выше свойств функций а*(х), f(x) и Tni(I) ряды (8,6) и (8.8) равномерно сходятся к этим функциям при всех \х\ < I, Igl <1 и X > 0; имеют место оценки (см. § 1)
с»*~Аг2\ /*~Аг‘-2“ (ft-oo). (8,10)
Лемма 3,4. Если f(x)^H1(—1,1), то решению ф(ж) из класса Lp(—I, I) (1 </?<4Л) уравнения (8,1) соответствует последовательность чисел (оА из класса Iz, удовлетворяющая бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
OO
®п — Т~п 2 ^mPmn (ft = Oi Ii • • • )i
™=0 (8.11)
= fnfan г Cmn = 112 (2И -f- I) 6mn (^)-
Наоборот, любому решению {со*} из класса I2 системы (8.11) соответствует решение q>(x)^Lp(—I, I) (1</?<4/3) уравнения '(8.1).
Для доказательства подставим в интегральное уравнение (8.1) функции ф(ж), f(x) И m.,(t) в виде (8,2), (8.6), (8.8). Используя далее спектральное соотношение (7,21) и условие ортогональности (8,4), придем к (8.11). Наоборот, производя обратные преобразования и учитывая неравенство (см, (6,22) гл. 2)
ЦфЦг <MI<D*1 V, (М = const, 1 <р<iZ3), (8.12)
^2*
убедимся в справедливости второй части леммы.
Из установленной эквивалентности уравнения (8.1) и системы (8,11) следует однозначная разрешимость последней в Iz при всех X є (0, оо).
§ 8. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
167
Лемма 3.5. Для коэффициентов етл(Х) вида (8,9) имеет место следующая оценка:
2 sh3 г
I стп (X) I < 6„ 2 —— (2D3 + D2Xr sh г),
Tt т л, (Zm —j- 1)
D2 = max I ml (t) |, D3 = max | т" (t) | (11 | < oo), ^8-13)
Sn = [n (n + I)]"1 (rc> I), 60 = Л.
Для доказательства произведем в (8,9) замену переменных P = cos a = cos ф. Далее, интегрируя полученное выражение для етп(Х) дважды по частям по ф и один раз по после ряда несложных выкладок придем к (8.13).
Теорема 3.8. Оператор, стоящий в правой части (8.11), действует из I2 в I2 вполне непрерывно при всех X є (0, оо) И является оператором сжатия при Х>Х0. Постоянная A0 находится из уравнения
5<г>- 4 (4+?) (20*+ёг°‘81,г)Г - '• <8-14>
С учетом второй формулы (8.10) нетрудно заключить, что последовательность {г*} є I2. Далее, при помощи оценки (8.13) можно показать, что
С» CO
2 S Cmn W <5 (г) <00. (8.15)
?tt=0 U= о
Из (8.15) следует, что оператор, стоящий в правой части. (8.11), действует из I2 в I2 и является там вполне непрерывным при X є е(0, оо), т. е. может быть аппроксимирован конечномерным (метод редукции). Из (8.15) также вытекает, что при выполнении равенства (8,14) указанный выше оператор будет оператором сжатия в I2. Следовательно, при X > X0 решение бесконечной системы (8.11) в пространстве I2 может быть получено с любой степенью точности методом последовательных приближений и Ьправедлива оценка (3,23) гл. 1.
Заметим, что систему (8.11) можно еще представить в форме
С»
ffl* = U — ‘2 “’І {п = о, 1, . ..),
т=о (8.16)
= ®)Дп! Cmn = V2 (2^? + I) Cmn (X).
Обратим внимание, что в силу второй формулы (8.10) {/„) є Iu и получим для Cmn оценку типа (8,13). Тогда можно убедиться, что оператор, стоящий в правой части (8.16), действует в пространстве Ii. Можно доказать, что бесконечная система (8.16) квазивполне регулярна при X > 0, Если существует ее ограничен-
ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
ное решение, то {со*} є I1. Можно указать некоторое A0 > О такое, что при А > А0бесконечная система (8.16) вполне регулярна.
