Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 47

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 105 >> Следующая


р (а2 — X2) К [зс 1 (с)] V [I (с) — X (X)] ІХ ,(с) — X х(х)]

я/р

(—с С X С с), T = Gy

K’lx-1 (С)] 'к Ix-1 (с)]

- Х(*) = (т=

10*
148 гл- 3- МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

Отметим, что для обоих рассматриваемых случаев на краях линии контакта штампа с поверхностью тела касательные напряжения т (х) имеют характерную особенность вида 1/Ух.

3. Рассмотрим теперь задачу о чистом сдвиге упругого слоя двумя одинаковыми штампами и периодической системой одинаковых штампов (рис. 3.3). Нетрудно убедиться, что первая



\-l~b -L a h a a * O S I* а l + b
і /’
n. t I

Рис. 3.3

задача для симметричного случая (когда усилия, приложенные к штампам, направлены в одну сторону) приводится к интегральному уравнению

ь

х)

— [ ф+ (?)>

dl = Jt/+ {х) (а:

<Ь),

(5.16)

а для несимметричного случая — к интегральному уравнению

In

[th п(?

¦ х)

4 h

Г

dl = зт/_ (х) (a ^ х ^Ь);

(5.17)

здесь ф+(ж) и Ф-(я)—отнесенные к G (модулю сдвига) контактные касательные напряжения; функции f+(x) и f-(x) равны для данной задачи перемещению к = const, однако для общности будем считать их произвольными из класса H1 (а, Ь) (0<а=?11).

Для исследования уравнений (5.16) и (5.17) сначала изучим случай, когда A-1 = Vb2 — az/(2h) > 1. При этом уравнения (5.16) и (5.17) упрощаются и принимают вид

Г

]?+(&)[-

In-

I2-*2

D

dl = я/+ (x)f D ¦¦

2 (a<z<b),;
§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

149

В первом уравнении (5.18) произведем замену переменных и введем обозначения по формулам

т =

2?2 — а2 — Ь2 . 2х2 — а2 — Ъ2 . ... Ф+ (х) ^2 — а2

----Tl--2----’ ?(0= -----------------

Ъ — а



fit)

2/+ (*)

Vb2-а2

тогда оно примет вид (1.2) гл. 2. Последнее уравнение было подробно рассмотрено в §§ 2—6 гл. 2.

Чтобы построить решение второго уравнения (5.18)', продифференцируем его по х. Будем иметь

ь

Jfrri^d6=(а<х<ь)* (5-19)

а

Уравнение (5.19) напоминает интегральное уравнение (1.34) гл. 2, изученное в §§ 2, 3 гл. 2, поэтому нетрудно записать решение

(5.19) в форме

<Р- (х) =

г V(b2-l2)(?-a2)f'_(l)l

ру-\----------^-----------*

JX V(b*-X2)(x2~a2)

(5.20)

Подставляя (5.20) во второе уравнение (5.18), получим [13]

(к = -}

О о

ро = ^V-(I) dl = -Yffl- j YWT а а г '

Ь Ь

pI = J ІФ- (?) dl = Ь2 J

I2) (I2-а2)

E (к) К (к)

-1 + т*

/_ (5) dl

(5.21)

У{Ъ2-?){12-а2)

Вернемся к интегральным уравнениям (5.16) и (5.17) и в первом из них сделаем замену переменных и введем обозначения согласно формулам

Tl = Chr!, г/ = сЬга;, г = я (2 h)~x,

C = Chra,; d = chrb, ср+ (т]) = (г sh г?)-1 ф+ (|), /* (у) = /+ (х)\

(5.22)

во втором — согласно формулам

Ti = shr|, у = shrx, c=shra, d = shrb,

Ф- (tI) = (г ch г?)-1 ф_ (I), fl (у) = /_ (х).

(5.23)
150 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

В результате уравнения (5.16) и (5.17) примут вид

U

- j Ф± (tI)

In

II — У

Л + У

d-ц = nf± (у) (с < у < d). [(5.24)

Уравнения (5.24) совпадают со вторым уравнением (5.18), поэтому к ним применимы формулы (5.20), (5.21). Возвращаясь в этих формулах к старым переменным и обозначениям, получим решения интегральных уравнений (5.16) и (5.17).

Перейдем к рассмотрению периодической задачи [14]. Можно показать, что для симметричного случая (когда касательные усилия, приложенные к штампам, направлены в одну сторону) задача приводится к интегральному уравнению

і

- j Ф (S)

In I 2 sin --(|^ х) j dl = nf — |ф(6) т* dl,

Ttl1 Ux

/ =

— х \________ 'V' th (iiAfi) — 1

:)-2-

Ь=1

cos (1-х) (|а;К1), (5.25)

Pa

2 h

I

IaG + 1’ G Т(а^) — ф(1), \l— t , X ь_а

1,

а для несимметричного случая (рис. 3.3, б) — к интегральному уравнению

і і

х)

— j Ф (S)

In

т* I [X,

tg "^4?, ^ яf~ I ф (S)т* “Г2")

— 1

(5.26)

\ '00

) _ 2 ^ «¦ !'/¦“ - <> »1 - « cos Л&р» ,і _ х)

к=1

21

(Ы<1, / = Tf/а, G Ч(а1) = ф(|).

При (J. -*¦ оо уравнения (5.25) и (5.26) упрощаются и принимают вид (для общности будем считать, что / = /(#))

1

— J ф (!) In I 2 sin —

I

— J Ф (S)

In tg

2Я я (I — х)

4?,

dl = nf (х) (U|<1),

(5.27)

dl = nf (X) (IzKl).

Первое интегральное уравнение (5.27) для четного случая (f(x) —
§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

151

четная) после замены перемепных и введения обозначений

о Лц с% ПХ

т]= 2cos -у-, у = 2cos—,

с = 2 cos -г-.

ф+ (ті)=* (-Tlsir1-?-] ф(?). f+(y) = f(x)

запишется в форме

2

- j Ф* (Tl)ln I tI - УI dlI = л/+ (У) (с<У

;2).

Последнее после симметризации интервала интегрирования совпадает с (1.2) гл. 2. Далее убедимся, что первое интегральное уравнение (5.27) для нечетного случая (/(ж)—нечетная) после замены переменных и введения обозначений

, JlC , UX л .

11 = tg2T’ У ~ ~9Х~’ С = 0’





Ф- (Tl)

-^W|f-(p(g), f*_(y) = f(x),

3 также второе интегральное уравнение (5.27) для четного и нечетного случаев после соответствующих замен переменных и введения обозначений типа (5.22) и (5.23) совпадут по форме с уравнением (5.24).
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed