Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Подставим теперь в интегральное уравнение (8.1), (8.17) функции ф(ж), f(x) и m2(t) в виде (3.3) гл. 2, (8.19), (8.20). Используя спектральное соотношение (7.15) п условие оргого-
§ 9. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
171
вальности (8.18), придем к бесконечной алгебраической системе
оо
Cln = 2 ЯтРтп fn (я — О, 1, . . .), ш—о
Fek4n (0, — q) Fekom (О,
а,1==Мте Fekin (0.-?)’ СтП ~ 2Fek2m<^
служащей для определения {в„}. Может быть доказана эквивалентность интегрального уравнения (8.1), (8.17) и системы
(8.29), т. е. может быть доказана лемма, аналогичная лемме 3.4. Отсюда будет следовать однозначная разрешимость системы
(8.29) в Z2 при всех Я ^ (0, °°). Далее, учитывая, что [23]
Fekgm (0, — q) [Fek2m (0, — ?)]-1 — Мьт (т -> оо),
в оценку (8.25), нетрудно показать, что при А>0 имеет место неравенство (8.15). Поскольку, кроме . того, {/эт} ^ Z2, то придем к заключению, что оператор, стоящий в правой части (8.29), действует из Z2 в Z2 вполне непрерывно при К s (0, °°). Таким образом, этот оператор может быть аппроксимирован конечномерным, что обосновывает возможность применимости для решения системы (8.29) метода редукции. Вычисления показывают, что метод редукции здесь так же, как и для системы (8.16), быстро сходится при всех К є (0, оо).
В заключение отметим, что аналогичные результаты могут быть получены для случая, когда функция f(x)—нечетная.
(8.29)
q) /14
^ етп V1A),
§ 9. Прямые методы решения интегрального уравнения (7.1) гл. 1
Изложим два метода сведения интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений, основанные на алгоритме дискретизации Мультоппа — Каландия [26].
1. Изучим вначале случай больших значений параметра Я [27], для чего запишем исходное интегральное уравнение в форме
(8.5) гл. 2. Пусть / (х) <= Н% (— 1,1) (0 < a ^Sl); тогда по теореме 2.14 единственное решение интегрального уравнения (8.5) гл. 2 существует в Lp (—I, 1) (1</><2) и имеем вид (3.3) гл. 2, причем и(г)єС)(-1, 1).
Представим функцию f(x) в (8.5) гл. 2 в форме f(x) = f+(x)+ + f-(x), где «+» и «—» относятся соответственно к четному и нечетному членам. В этом случае со (х) = сої (х) + хюг(х) и
CD (X) + ха (X)
tpW---------у,_ J • <9Л)
причем в (9.1) первое слагаемое есть решение уравнения (8.5)
172 гл. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
гл. 2 с правой частью nf+(x), а второе слагаемое — с правой частью nf-(x).
Построим для функций (Oj (х) (/ = 1, 2) интерполяционные
полиномы Лагранжа по чебышевским узлам
Xn = cos0„, 0„ = л(2п — I) (2iV)-1 (п = I, 2, ..., N). (9.2)' Как показано в [26], такие полиномы имеют вид
N
N-1
ю* (0) « (Sn) I + 2 2 cos (т®п) cos (тО)
п=1 L т—1
(О* (0) == (Oj (COS 0) (/ = 1,2).
(9.3)
Если положить в (9.3) N = 21 + 2 и учесть, что функции (dj(x) — четные, то формулы (9.3) перепишутся следующим образом:
г+1 г
и* (0) « TTCj 2 I + 2 2 cos (2m0„)cos (2mQ)
0П = я(2п — 1) [4 (г + 1)]'
(/ = I4 2; w = 1,2.....г+1).
(9.4)
В силу указанных выше свойств функций &j(x) интерполяционные полиномы Лагранжа с узлами Чебышева (9.4) при і -*¦ °°
равномерно по х^[—і, 1] стремятся к юДя) [28].
Используя (9.1), интегральное уравнение (8.5) гл. 2 разобьем на два уравнения, соответствующие четной (f+(x)) и нечетной (f~{x)) правой части: я
Г * / I \ I I COS гр — cos 0 1
— о>1 (ф) In -!---------L =
J* /п\ If * / , Ч Гт /cos COS 0\ , 7 /со?
я/+ (0) - -J J CO1 (41) [Z0 у-----------------------------J + I0
COS + COS 0
А
(9.5)
л
— J W2* (ф) COSlJj In
I COS tjj — COS 6 I
dxj) = я/* (0) —
л
— Y jco* (Ij5)cOS ф[г0
COS 4' — COS
cos -+- cos 0
I
йф, (9.6)
/* (0)s/±(cos0) = /±(a;) (О<0<я).
Используя формулы (6.11) гл. 2 и (9.4), получим следующие приближенные выражения для интегралов, стоящих в левой
§ 9. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
173
части уравнений (9.5), (9.6):
{ + I
jI (0) = TTT 2 Iln 21 + (0’ 0»)]«
I + 1
71=1
(9.7)
и+
+ /г> і \ V* cos (2m0) cos (2mif>) + /л . ч n
I (0. 1I5) = 2l -------------m ’ ®0 (0> ^ = 0;
m=i
i+i
Jr (9) =JTT 2 “* (0"> cos 0 [! + “Г (0,0n)]r
n=l
•/a i\ X1 і о і \ Tcos (2m + I) 0 , cos (2m — 1)0]
(0, ?) = 2 cos (2ml;)[ + L-I ~b
(9.8)
c0V
m=i (0, ?) = 0.
Принимая теперь в расчет квадратурную формулу Гаусса — Эр-мита [26]
" ifl
j g(iM ^ = Tqpr 2 ёШ,
о 71=1
найдем выражения для приближенных значений интегралов, стоящих в правых частях (9.5), (9.6): i+1
Г+/ПЧ я 'V *,ЛчГт / cos On - cos 0 ^ _ 7 ( cos On -f cos 0 у
jZ (0) = Т+Т 2d (0") }» ( I J + 1O V X j
71=1
(9.9)
,+1 ' cos 0„ — cos 0\ /cos0n-bcos0Y
я Xi * / c°s — cos 0 \ Л
J* (0) = ТТг2 (0n) cos 0„ Z0 I----^--------J - Z0 [-----1-----j
Il= I L \ j
(9.10)
В силу свойств функций o>j (х) и Z0 (t) процесс механических квадратур Гаусса будет при і -> °° и К > 0 сходиться к точному значению интегралов [28].
Подставляя далее выражения (9.7), (9.9) и (9.8), (9.10) соответственно в интегральные уравнения (9.5) и (9.6), а также давая 0 значения 0т, получим системы линейных алгебраических уравнений относительно И; (0n) (/ = 1, 2) в четном и нечетном
