Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Легко убедиться, что
J1 (1ЛЖ)_{ /, (6,-I y'ji [ег?
J2(Yab) = 4 А (Ь).
(10.22)
§ 10. ЗАДАЧА О РАСКЛИНИВАНИИ
181
А тогда, учитывая (10.21) и (10.22), из (10.20) найдем
v(1ab) = V2A.
Коэффициент интенсивности нормальных напряжений K1 определим из соотношения (10.19) и второго выражения (10.11):
Кі=(ert +Ybe )¦ <1о-2з>
Полученные формулы (10.20) и (10.23) тем точнее, чем меньше х. Определим значение величины K1 при х 4С1. Подставив значение постоянной Q в (10.23), найдем
і • гг і Eh *1/ JX
Iim A1 In х ------ у----
и->о V2Ъс (I — ViY
и, следовательно, при и < 1
г , Eh "1/ л
kI = — Т/ігг- ,----------------
~]/2bc (I — V2) In х*
Это же значение величины K1 при х < 1 может быть также получено из формулы (10.12).
3. Исследуем, наконец, поставленную задачу при больших значениях параметра Я = — 2(In и)-1 = 2й,ц-1. Сделав в уравнении (10.2) замену переменных
6-lnVS'
получим интегральное уравнение вида (7.1) гл. 1 с нулевой правой частью, в котором ф(|)=рг/(р). При больших Я ядро этого интегрального уравнения можно представить в виде
CO
мо=4-2«і*2і+1’ (10-24>
i— О
где для случая а = я/2
йо = 0,41667; U1 = -0,61111 -10-1; аг = 0,19759 • IO-1.
Указанное уравнение с учетом (10.24) может быть переписано следующим образом:
I OO 1
Решая последнее методом, изложенным в § 8 гл. 2, опуская промежуточные выкладки и переходя к старым переменным и обозначениям, в согласии с равенствами (10.8), (10.9) и (10.11)
Щ ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
будем иметь
V (г) - 4 {«rccos (я In + [J1 + (| + 4 X» In» ф) J + + Д7*л+ “ + ^‘“’гД + т^'^х
_МпШ Z1-14dsVS+omI' (10'25>
77 __ ?/? ~|/К / (Я,) /л л 9^v
I_V35b(i-v*)’ ( *
/ (X) = 1 + 0,5а0Я-2 + 1,125аД-4 + (0,1875в„о, + 3,125а2)Х-6 + О (Х~8).
Устремив в соотношении (10.26) X к бесконечности, получим значение величины K1, совпадающее с найденным в п. 1 в форме
(10.13).
Можно показать, что ряд в (10.24) абсолютно сходится при Itl < 2а. Следовательно, полученные в этом пункте результаты справедливы при а~1<Х<°°. Практически соотношения (10.25), (10.26) рационально использовать при 2а_1<Х<°°.
Как показывают численные результаты, в совокупности полученные в пп. 2,3 соотношения для определения функции V (г) и величины Ki дают полное решение задачи, так как обеспечивают при любых а перекрытие всего диапазона изменения параметра 0=?Х<°°. Для 85° 5? a =? 180° при всех X целесообразно использовать более простое по форме решение (10.8), (10.12).
Значения величин Ki = (I — v2) V^b (Ehy1 Ki и = Zi-1X X v{Vab), полученные при X = 2 и а = я/2, по формулам пп. 1,
2, 3 соответственно равны
К\ = 0,379; 0,381; 0,379;
V* = 0,500; 0,500; 0,500.
При этом погрешность аппроксимации в методе п. 2 при всех
0 sS и < оо не превосходила 3%.
ГЛАВА 4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
§ 1. Асимптотические методы решения смешанных задач типа Ь)
1. Изучение задач типа Ь) начнем с конкретного примера. Именно, в рамках плоской теории упругости (плоская деформация) рассмотрим задачу о вдавливании штампа ширины 2а силой P в упругую полуплоскость с учетом влияния моментных напряжений (на основе модели Cosserat [1]). Предположим, что касательные и моментные напряжения под штампом отсутствуют, а вне штампа поверхность полуплоскости не нагружена. Согласно этим предположениям граничные условия задачи имеют вид
напряжения в полуплоскости исчезают при х2 + у2 Здесь
g(x)—осадка точек поверхности полуплоскости на линии контакта, определяемая формой основания штампа и величиной его жесткого перемещения, щ — моментное напряжение.
Математически задача сводится к решению двух дифференциальных уравнений:
с граничными условиями (1.1). В (1.2) U(х, у)—функция напряжений Эри, F (х, у)—вторая функция напряжений в моментной теории упругости, n = ]lb(iG)~i— постоянная, характеризующая степень влияния моментных напряжений, b — изгибно-крутиль-ный модуль, имеющий размерность силы, G — модуль сдвига. Вместе с (1.2) должны быть выполнены следующие соотношения связи между U и F:
у = 0:^ = 0, Hk = Oj ov = 0 (\х\>а),
v(x, 0)'==—?(я)’ (Ы *3а);
(1-1)’
A2CZ = O, A(F-Zi2AF) = O
(U)
(1.3)
184 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
где V — коэффициент Пуассона и, кроме того,
ди 1 dv I . / . M
дх 2G V V ^x crW-I' Щ— 2G х V ж
„ _ 1 (ди S1A _ 1 S2C/ aV
?зсу 2 \5i/ + Sxj _ AG (Хху + %ух)’ °х ~ 5„а 57^*
(1.4)
_ 8ги S2F _dF _8F
gx2 дх ді/’ Si/’ 5х ’
S2L7
'l3c^ дх ду ду* ’ ^3c дх ду + 5х? •
Применим для решения поставленной краевой задачи (1.1) —
(1.4) интегральное преобразование Фурье. В соответствии с общим планом решения смешанных задач (§ 1 гл. 1) необходимо сначала исследовать вспомогательную задачу (1.2) — (1.4) с граничными условиями
2/ = 0: Xyx = 0, Hiz = O. Oy =-q(x); (1.5)
напряжения в полуплоскости исчезают при х2 + у2 -*¦ оо.
Из (1.2)-(1.5) получим
у, л, I-Vr, Vl + п2 а2
Iа’ U> - G|a P + 4 (I - V) ге2а2 ( VT+Ы- п Ia |)*
