Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 4.1. Пусть четная, вещественная, непрерывная на
всей действительной оси функция 1(и) обращается в нуль на бесконечности. Тогда она допускает приближение в С(~оо, оо) рядами из функций вида h(u) — (гг2 + /г?)-1.
На основании леммы и представлений (2.2), (2.3) аппроксимируем символ ядра К (и) выражением
\ г=1 1 г / г—1 г
Заметим, что аппроксимация (2.4) эквивалентна аппроксимации вида
к(и\ 1 П™ Г ^
Возможность использования такой аппроксимации уже была продемонстрирована (см. (1.9)) на примере контактной задачи для полуплоскости с учетом влияния моментных напряжений. Естественно считать, что в (2,5)
(g< - g*) (hi -hk)?=0 (i?=k); (2.6)
тогда можно убедиться (см. теорему 1 в п. 71 [5]), что
4=ff|iFS. (2.7)
i=l \hi~hk)
где штрих означает, что в произведении в знаменателе пропущен сомножитель при і = к.
188 ГЛ- і- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Рассмотрим теперь эквивалентное интегральному уравнению
(7.1) гл. 1, (1.9) гл. 2 парное интегральное уравнение (7.15) гл. 1 с символом ядра (2.5)
Ґ» N I U~ H- ?~ 1 Au
J Ф (и) е~іих/к Д p~hk м = 2л/ (X) (|i|<l),
(2-8)
J Ф (и) e~iux/x du = 0 (|®|>1),
•-оо
где Ф(и) связано с ц>(х) соотношением (7.16) гл. 1.
Далее ограничимся, принимая во внимание теорему 2.12, исследованием случая, когда функция f(x)—четная (четный случай задачи). При этом, дифференцируя первое соотношение (2.8) один раз по я и вводя обозначения
и = а Я, Ф(аЯ)=Ф*(а), gi = XGu Hi = XHt, (2.9)'
будем иметь
J ф* (а) JJL я?) sin ax^a= — пҐ (х) (^ <1),
(2-Ю)
J Ф* (a) cos ах da = 0 (д; > 1),
О
причем функция ф(ж) может быть найдена по формуле
OO
<Р(Х) = { J Ф* (a) cos ах da. (2.11)
о
Заметим теперь, что первое соотношение (2.10) можно переписать в виде [6]
Р,(-Цд(х) = -пР2(-ЦГ(х) (x^i), (2.12)
ще введены обозначения
OO
d2 Г
L = —J-, g(x)= I Ф* (a) sin ах da,
dx J
іv ° jv (2ЛЗ>
Рг (а2) = Д («2 + G2), P2 (а2) = Д (a2 + H2i).
(“2 + 4)
і—1 і=!
С учетом формулы (7.9) гл. 2 и сделанного там же замечания примем, что f (х) = sin ex. Тогда, определяя из дифференциаль-
§ 2. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
18&
ного уравнения (2.12) функцию g(x), получим
P(є2)
g(x) = — пр(х), р(х)= , 2 ¦ sm BX + Z Ci sh GiX. (2.14)
pi 'е > i-i
Итак, парное интегральное уравнение (2.10)' на основании формул (2.13) и (2.14) можно представить в форме
J" Ф* (a) sin ах da =—яр(х) (х ^l),
о
OO
J Ф* (a) cos ах da = О (ж>1).
(2.15)
Ранее в § 5 гл. 2 было рассмотрено парное интегральное уравнение (5.6), совпадающее по виду с (2.15). Пользуясь результатами решения уравнения (5.6) гл. 2, получим следующее выражение для функции Ф*(а):
^ Г С P(I)Idl
Ф* (а) = — 2а J J1 (at) dt J у^2 ^2 + nDJ0 (a) (D = const),
о о
(2.16)
Подставляя сюда р(х) в виде (2.14) и используя интегралы [7]
I Sin ЄІ
t*-l‘
dl =-5- U1 (Et),
г f о
JfZ1 (at) J1(^t) dt =
PtJ1 (at) J0 (PO - atJq (at) J1 (Pt) а» — рг J
(2.17)
окончательно найдем
Ф* (a) = JxDZ0 (а) — ла
^J1 (а) J0 (е) — аJ0 (a) J1 (є)
M (є) (а2 — е2)
+
+ 2d
І—1
a‘ + G\
P1U2)
’ m^ = ITTTv (2-18)
Л(е )
Здесь ln(x) = i~nJn(Ix)—функции Бесселя мнимого аргумента.
Постоянные Ci в (2.18) нужно теперь определить таким образом, чтобы выражение (2.18) удовлетворяло первому соотношению исходного парного интегрального уравнения (2.10).
190 гл. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Подставляя (2.18) в (2.10) и принимая во внимание, что
л/<“>=Й^Т5!Т=1 + 2
І=1
M(iGk)= 0,
N
BAa2-S1)
(2.19)
M (a) -Miе)----2 (н\ + е2) (а2 + H2) ' =
а также учитывая последний интеграл (5.11) гл. 2, получим соотношение
Vnlflr . е/0 (е) К1 + jI (е) К2 ,
»<,>(*? + „•) +
+ 2С.а^-+><ЯМ + ^.—(2.20)
ft=I Hi~Gh J
Здесь Ki ж K1 — известные интегралы [7]
Я
f а/ (а)
х = J а2 , ,га sin аж dcc = sh iHix) №)>
Я?
OO
Л /а\
Zf2=-I -2 -°-7- sin ах da = Hi sh (HiX) K0 (#4),,
и ОС -f- H 7
(2.21)
К„(х)—функции Макдональда, а интеграл K0 имеет вид
К
OO
а [аJ0 (a) J1 (е) — eJQ (е) J1 (а)] .
2 2
ОТ — Є
sin axda.
(2.22)
Для вычисления интеграла (2.22) запишем его с учетом второго соотношения (2.17) "следующим образом:
OO 1
K0 = J a sin ах da J tJx (at) Jx (Bt) dt. (2.23)
о о
Преобразуя второй интеграл в (2.23) по частям, найдем
СЮ X
K0 = J sin axda J1 (є)J0 (а) — б| tJ0 (at) J0 (осе) dt
, (2.24)
Теперь с помощью третьего интеграла (5.11) гл. 2 и интеграла [7]
Г ^7O Jt sin у
}тт^*=—
(2.25)
§ 2. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
191
убедимся, что
Ka = —sin вх.
(2.26)
Подставляя в (2.20) выражения (2.21) и (2.26) и приравнивая затем в полученном соотношении члены при sh(Hix), придем к следующей [6] системе уравнений относительно Ch:
Можно доказать, что при условии (2.6) линейная алгебраическая система уравнений (2.27) однозначно разрешима.
После решения системы (2.27) по формулам (2.11), (2.18) найдем ф(ж). Именно, подставляя (2.18) в (2.11), с учетом второго интеграла (2.17) получим
