Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Александров В.М. -> "Задачи механики сплошных сред со смешанными" -> 48

Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.

Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными — М.: Наука, 1986. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachimehanikisploshsred1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 105 >> Следующая


4. Как было указано в § 3, при справедливости оценки (8.1) гл. 2 ядро для задач группы а) может быть представлено в форме (3.18). Тогда интегральное уравнение (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 запишется в виде

і і

я (1-х) I ,, , г ,VX (1-х'

— (S) In

th ¦

их

d\=nf(x)— W(I)^z1

dl (|®|<1). (5.28)

Для конкретных задач функция mjt) такова, что

max Ttil (t) = Ttil (O) = т > 0, min Ttil (t) = Ttii (t*) = т* < О,

TtiJt)-+0 (Z-^oo)i (5.29)'

причем постоянные пі и m* малы по сравнению с единицей.

На основании формулы (5.7) для интегрального уравнения (5.28) будем иметь

-Vn-

па

V2

2AXK (а)

L

/©-1 JfWmI(1Ti)

dt

у2 (Chb-Chbg)'

(5.30)

a= exp [—Jtf(Al)], Ь = л/(А%),
152 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

Допустим теперь, что (р(х)^ 0 при всех Ы < 1. Это неравенство обычно выполняется для физически реальных случаев конкретных задач. Тогда из (5.30) может быть легко получена следующая двухсторонняя оценка для величины N0, справедливая при всех

Xe= (0, оо);

2а [К (а) -(- (т/л) К' (а)] " 2а [К (а) + (т/п) К! (а)]

і

J= Г— i(lUl — , K' (a) = K (YT^a?).

У2 (ch Ь — ch Ь|) V 1

Для случая f(x)=} = const из (5.31) имеем

______/*'. (а>____< Ar0 <--------------------. (5.32)

К (а) + (т/п) К' (a) J 0 ? (а) + (т/п) К' (а)

При использовании оценок (5.31) п (5.32) следует иметь в виду, что 1) если 0<2А<?*, то т = тПі(2/Х); 2) если t* =? 2Д < °°, то m = пг*.

В заключение отметим, что если регулярную часть ядра Ttil (t) в интегральном уравнении (5.28) аппроксимировать вырожденным выражением вида

П

Tn1 (t)= S ьк(К)щ(X)ZhiD k=0

равномерно по X, то, как отмечалось в § 7 гл. 2, решение уравнения (5.28) может быть найдено в замкнутом виде, поскольку точное обращение интегрального оператора, стоящего в левой его части, известно. Важно заметить, что такое приближенное решение будет пригодно при всех Яє(0, оо) (подробнее CM. § 8).

§ 6. Замкнутое решение интегрального уравнения (7.1),

(7.7) гл. 1 в форме, не содержащей сингулярных интегралов

Получим решение интегрального уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 в форме, не содержащей сингулярных интегралов [1]. Для этого, подобно тому, как зто делалось в § 7 гл. 1, запишем (7.1), (7.7) гл. 1 в виде эквивалентного ему парного интегрального уравнения

(7.15), (7.16) гл. 1
§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ

153

Ф (a) = J ф (х) exaxdx,

(6.2)

— iaxi f ®(х) П®ГС1Ї, е da ¦¦

0 (І а; І > 1).

Заметим, что парное уравнение (6.1) может быть разбито на четный и нечетный варианты, соответствующие разложению функций f(x), ф(а;) и Ф(а) на четные (с «+») и нечетные (с «—») слагаемые. Для четного варианта формулы (6.1), (6.2) принимают вид

OO

j* Ф+ (a) th (Яа) а"1 cos ах da = я/+ (х) (х ^ 1),

о

OO

j* Ф+ (а) cos ах da = O (х> 1),

о

г

Ф+ (а) = 2 [ <p_u (х) cos ах dx,

о

OO

і L м , (ф+(*) (*<*)*

— \ Ф+ (а) cos ах da= А . ^

ItJ +' ' [0 (?>1).

(6.3)

(6.4)

Будем дальше предполагать, что функция f+(x) имеет непрерывную первую производную. Тогда, продифференцировав обе части первого уравнения (6.3) и введя обозначения

а = Ь$, х = уЬ-\ Ь = п%~\ Ф+ (ЬР) = xF(P), f+(x) = g(y),

(6.5)'

получим

OO

j 1F (P) th (іф) sin Py dfj = — TIg' (у) (IJ < Ъ),

’° (6.6)

OO

j 4r (P) cos $yd$ = О (у > Ь).

о

Отметим, что парное интегральное уравнение (6.6), очевидно, эквивалентно сингулярному иптегральному уравнению (5.1), которое получается дифференцированием по х обеих частей уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 с правой частью лf+(x).

Получим решение парного интегрального уравнения (6.6) при помощи обобщенного преобразования Мелера — Фока. Предварительно приведем перечень необходимых для дальнейшего формул.
154 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

а) Интегральные представления присоединенных функций конуса [5]:

__ t

РЧУг+ip (ch t)=Y ~ Г.^г f----------------cosP^ (6 Лу

/а + гР V ) \ я г (1Z2 - (1) J (Ch t- Ch yf+ К ’

(t > 0, Re fi < 1/2),

P-Ix /rb л — l/l. sh^t г (— ц -Hp + 1Z2) cos я (и — гр)

^-V2+iP Icn Ч V г (1у2—ц) Г (и+ф+1Z2) ShJtfi А

OO

xI ,C .-??>и/. «><>• !".^KVJ. (6.8)

б) Интегральные представления присоединенных функций конуса при Jj, = — 1. Полагая в (6.7) и (6.8) постоянную Ji = -If получим

_ і

-pzV,+щ (ch О - 1?- J-COS (ch ( — ch yj'‘dy, (6.9)

PLvrfl8 (ch О - Mch у - Ch tj'-dy. (6.10)

t

Используя теперь соотношение [5]

PZfu+^ (ch t) = Гг(~ ^Plv z+i р (ch t) (п= О, 1, ...),

перепишем формулу (6.10) в виде

OO

2 VTcth яр Г л‘/,

Р-Чг+іР (ch t) =-----^ J sin P у (ch г/ — chi)!г dy. (6.11)

t

На базе формул (6.9) и (6.11) получим другие интегральные представления для Р-'/2+гр (ch t), которые и будут нами исиоль-

') Формула (6.8) непосредственно определяет функцию (ch t)

в полосе I Rep, I < 7г- При RepC—7г интеграл в (6.8) есть преобразование Фурье быстро растущей функции. Это преобразование есть аналитическая функция ц, в полосе (Re uI < Va и может быть продолжено в полуплоскость Re и < —7г. В дальнейшем под интегралом (6.10) понимается именно такое продолжение. Его можно осуществить методами, предложенными в монографии [15]. Аналогичный смысл можно придать интегралам (6.11) и (6.13).
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed