Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
00 1 / (cos Tl) = 2 In СЄп (Tl» — ?) (g = 4І? ) (7-9)
П=0
будем искать решение (7.7) в виде
®(S, л) = г/(&)Т(лї. (7-Ю):
11 В, м, Александров, Е, В, Коваленко
162 гл, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Придем к необходимости изучения уравнений Матье (a = const) V" +(a + 2gcos2r|)F = 0, U" —(a + 2q ch 2|) U = O,
(7,11)
U(0) V(ri) =/(cos ri), С/(оо) = о.
Следуя далее общей теории этих уравнений [23], выпишем общее решение (7.10) поставленной краевой задачи (7.7), удовлетворяющее второму условию (7.11), в форме
OO
® (S, ?1) = 2 Сп Fek« (&’ — ЇЇ СЄп (tI* ~ ЇЇ' (7-12)
П=0
где Fekn (|, —q)—разложение второго линейно независимого решения дифференциального уравнения (7.11) для U(%) в ряд по функциям Макдональда ^v(I) [23].
Используя теперь первое граничное условие (7.11), а также представление (7.9), получим выражение для произвольных постоянных Cn в (7.12):
Cn =/„[Fekn(0, —<?)]“'. (7,13)
Теперь с учетом (7.8), (7.13) найдем
OO (
cP (cos yI) = |ШчТ 2 /n Fek се" to. - Її- (7.14)
n=o 11
Поскольку любая гармоника в (7.14) удовлетворяет (7.5), то, подставляя ее в интегральное уравнение (7.1), в согласии с (7.9) придем к следующему спектральному соотношению, полученному в неявном виде в [22]:
і
Г cen (arccos l, — q) /і — х\ я Fekn (0, —q)
~ А-------У 1-Е» ° Hr J6 " “”<arccos^ -«)•
(7.15)
Аналогичным образом, рассматривая логарифмический потенциал вида
У) = - ^ J ф (E) In VW ~ If + ’fdl - Na In V^T7 j*
(7.16)
являющийся в плоскости с разрезом \х\ 1, у = O решением кра-
евой задачи
Affl = O, M(Z1Jz)-S-O (ж2 + м2->оо), ?«(|+0)=±ф(ж) (U|<1)t (7'17)
§ 7, МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
163
убедимся, что решение интегрального уравнения (1.2) гл. 2 эквивалентно решению уравнения (7.17) при граничном условии
ю(*»0) = /(*) + VlnM (М<1).
(7.18)
Далее, на этом пути придем к спектральному соотношению *)
(6.11) гл. 2. Для нечетных значений п его можно записать в виде
і f^WP) 1п nI Vi
О г Л -P'
Производя в (7.19) замену переменных по формулам
6_shr|_ а=&1? г = ^->> О
1 sh г * а sh г * 2jj, ^
sh г
(7.20)
Придем к другому спектральному соотношению
1 г1Ж (P) Chr? ^
Vch 2г — ch2rl
1
I
th?l(|_fL|^ = „X,.r2j+1(a) (7.21)
(IarKl)1 Л, = [72(2/+1 )г]-‘.
Рассматривая потенциал (7.16) на двух симметричных участках [— Ь, —а], [а, Ъ] для случая нечетной функции /(х), можно получить следующее спектральное соотношение [21, 24]:
Tn (Y)
In
T — t
dx = цпТп(Х)%
V
VW=X2) (Ta-O^ ‘“І ї+~1 Y = cos ех (т),, X = cos ex (t) (a^.t^.b, п ^ 0),
=-щё) f (arcsin Y ^ri7a)*
K1(C) = K(VT=Ci), С =
(7.22)
К' (C) Ъп
(п> 1),, їх, = ±К(с);
здесь F(х, у) — эллиптический интеграл первого рода, К (с) — полный эллиптический интеграл первого рода. Полагая в (7.22)'
Ъ = ег, а = е~г, т = eTl, t = егх, г = л/ (2jj.) > 0, (7.23)'
*) Соотношение (6,11) гл. 2 может быть также получено из (7.15) предельным переходом при Ji оо.
И*
164 гл, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
придем к другому спектральному соотношению (сравните с
Можно показать, что Х(—х) = —Х(х), Поэтому, например, четная функция /(ж) должна быть разложена в ряд
Спектральные соотношения (7.21) и (7.24) имеют важное значение, поскольку в § 3 было показано, что функция — In lth(.n?/4) I может хорошо аппроксимировать главную часть ядра в задачах типа а).
§ 8. Метод ортогональных функций, эффективный
при всех значениях К
В §§ 8—10 гл. 2, 2, 4 были изложены методы решения задач типа а), эффективные либо при больших, либо при малых значениях параметра К. Здесь покажем, как может быть построено приближенное решение, эффективное при всех К [9, 25].
1. Рассмотрим интегральное уравнение (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 с символом ядра К (и) = L(u)u~\ положительным, вещественным и непрерывным при Пусть, кроме того, для К (и) вы-
полняются условия (7.12) гл, 1, (8,1) гл. 2, В § 3 показано, что при сделанных относительно К (и) допущениях ядро (1.3) гл. 2 можно представить в форме (3.18), где m,(t)—сколь угодно гладкая функция при Ul <оо и исчезающая при Ul -* оо. Интегральное уравнение (7.1) гл. 1 с учетом (3.18) может быть записано в форме (5.28) или же в форме
Будем предполагать, что /(і)є^(-І, 1) ('/2<а<1);
тогда для уравнения (8.1) справедлива теорема 2.13. Именно, несколько изменив формулировку теоремы, можно утверждать, что
(7.21))
1
I
Tn(Y)
L=-In thilLil dt = InTn (X) (7,24)
ch 2ті 4I1
~\/сЪ.2г— ch 2г\
(\х\ < I), К = У2г~')Д,п.
f(x) = 2 fkT2k(X).
(7,25)
Lcp = я/ (x) — Мф (I х I ^ I)*
і
(8.1)
I
§ 8. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
165
решение уравнения (8.1) при всех (0, °о) существует и единственно в Lp(—I, I) (і<р<2). Это решение представимо в виде
/ \ w* (х) ch гх Я /0
Ф (х) = ¦ ¦¦', Г = TTJT-, (8.2)
2/• — ch 2гг
где a* (i)effve(-1, I) (y = cc, а<1; "f = 1 — е, а = 1, е>0), причем имеет место соотношение корректности
