Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
-I
’Г (6)1/2 [ch(яД)-сЬ(я?А)]
1 _ вя(*-Е)А
dl
(5.5)
Р*
причем q>(x)^Lp(—l, 1) (1</?<2).
Теперь необходимо постоянную P* выбрать таким образом, чтобы выражение (5.5) было одновременно решением интегрального уравнения (7.1), (7.7) гл. 1. Именно, будем иметь і
-я(1~
S)A)
/ (E) dl
1/2 [ch (яД) — ch (я|Д)]
¦, (5.6)
где E (а) и К (а)—полные эллиптические интегралы. Внося (5.6) в (5.5), для интегральной характеристики решения N0 получим
§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
145
N
следующее выражение *):
* Wdx =Srk J-------------
-I -X
При выводе формул (5.6), (5.7) были использованы интегралы (6.21), (6.22) и соотношения [5]
о
і
I'
у2 [ch (IiA)-Ch (п|Д)]
(5.7)
а
I
ch х dx
У2 (ch а — ch х)
= еа,2Е' (е~“), К' (к) = K (У I-к2),
E'(к) = E (У I-к2), E (к) К' (к) + E' (к) К (к) -К(к)К'(к)=^-.
Полагая, например, в формулах (5.5)-(5.7) f(x)—f = const, запишем решение уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 в виде
ф (х) = ________ піУ\. _____________
2XK (а) 1/2 [ch (яА) — ch (лх/Х)] ’
(5.8)
N0 = fK'(a)[K(a)]-\
2. Заметим, что задача, рассмотренная в § 5 гл. 1 и сводящаяся при X2 = 0 к интегральному уравнению (7.1), (7.7) гл. 1, может быть значительно обобщена [11].
Пусть упругое цилиндрическое тело бесконечной длины заключено в недеформируемую обойму, как показано на рис. 3.1. Между поверхностями обоймы и тела осуществлено жесткое сцепление. На плоской грани тела находится недефор-мируемая бесконечная полоса (штамп). Между поверхностями тела и полосы также осуществлено жесткое сцепление. Ширина плоской грани тела L = b + а, ширина полосы I = d + с. Поперечное сечение цилиндрического тела представляет собой односвязную область Q. Контур криволинейной границы области S3 есть S.
Пусть на каждой единице длины к полосе приложено сдвигающее касательное усилие Т, направленное по оси z. Под действием этих усилий полоса сместится вдоль оси z на величину вызвав тем самым в цилиндрическом теле деформацию чистого сдви-
Рис. 3.1
‘) По поводу определения интегральной характеристики решения /V1 см. § 6 настоящей главы.
Ю в. м. Александров, Е. В. Коваленко
146 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
га. Таким образом, нужно найти гармоническую в ?2 функцию ,.w(x, у) при граничных условиях
W = 0 ((X, у) е= S),
W = у (у = 0, — с XS^. d), (5.9)
W1y = G-1 Xyz = O {у = 0, — а<_х<.~ с, d<x<b)f
а также определить закон распределения контактных касательных напряжений Xyz = x(xj при у ^O по области контакта —c<.x<.d, т. е. нужно найти Gwy при у = 0иіє [—с, d].
Для решения задачи введем в рассмотрение комплексные переменные Z = X+ iy, ? = и + iv и допустим, что функция ? = Jp(Z) осуществляет конформное отображение области ?2 в плоскости комплексного переменного z на полосу единичной толщины в плоскости комплексного переменного ?, причем прямая у = О, —a =? =? х =? & переходит в прямую V = 0, —оо <и< оо Так, что точкам X = — а и х = Ъ соответствуют точки и = — оо и и = оо, а точкам х = —с и X = d — точки и = —а и и = а. Кроме того, кривая S переходит в прямую и = —1, — °° <и<оо. На основании теоремы Римана [12] такое конформное отображение существует и единственно, если величина а заранее не задана.
Рассмотрим краевую задачу Aco = O (5.9),' которая получается для функции w в полосе на плоскости комплексного переменного %. Учитывая, что
dw I Ow
дУ Iy=O ди
¦ F'(X)r (5.10)
и предполагая, что F'(х) = О при х^[—а, &] лишь на множестве меры пуль, приходим к необходимости решения следующей задачи:
Aw = O A = —s'-і--------------------2 > w = 0 (v = — l, — oo<w<oo),
\ ди dv j
(5.11)
w = у (v = О, I и I ^ a), Wv = O (и = 0, | и | >» а),
которую можно трактовать как задачу о чистом сдвиге жестким штампом упругого слоя единичной толщины, защемленного по основанию (сравните (5.11) с формулами § 5 гл. 1). Решение последней задачи дается соотношениями (5.8), которые запишем в следующей форме:
(и) =__________nyGe™!*
2К(е па) 1/2 (ch яа — ch ли) ’
Т* = GyK' {е~па)[К [е'па)]~\
§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
147
Теперь решение исходной задачи может быть найдено согласно (5.10) по формулам
d а
%(х) = %* [F (x)]F'(х), T = j т (x)dx= \%*(u)du=T*.
—с —а
(5.13)
Рассмотрим два конкретных варианта задачи о чистом сдвиге штампом упругого цилиндрического тела (рис. 3.2). Функции, осуществляющие конформное отображение указанных на рис. 3.2
областей Q на полосу единичной толщины в плоскости комплексного переменного ?, имеют соответственно вид:
Из формул (5.14) получим:
1) ^(г) = т1п:
2) F(X) = ^lna-
P У Cd’ ' 4 ' P “ —х
F' (х) = фх)~\ F' (х) = 2а$~х (а2
' = 41п/ Т*
*Т\
а :
I1 а + с a, = -J- In —!— р а — с
Используя (5.15), в согласии с (5.12), (5.13) запишем: для первого варианта (клин)
__________ nGy(xd)n/W>
х(х)
х(х)
TlGyaX (с)
(5.14)
(5.15)
2$хК {(cld) "/(2P)] Vidpft - х71^) (X"/P - ея/Р)’ T = GyK' [(cld)nim)] [К [(c/d)"/(aW]}_1; для второго варианта (усеченный круг)
