Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
m2v0={mx+m2)v, тА-ЯШ = +"^2 _ ЗіШ , 2 01 2 2 4яє0/ 2 4яє0і
Исключая из этой системы v, находим искомое расстояние:
L =---г «3,9 м.
J 2ne0lmlm2v0
{mx+m2)qx\q2\
Элементарный анализ показывает, что ответ теряет смысл при
41 Факультет BMuK
2ne0l тхтг V0
(ml+m2)ql\q2\
т.е. при: W0k > (l + m2/"»i)Hon|> где ^-Ok = 0,5/и2 V0 - начальная кинетическая, a W0n =cjr1^21/(4 тс s0/) - начальная потенциальная энергии системы. Физический смысл этого результата таков: если начальная кинетическая энергия системы равна или превышает взятую с коэффициентом a =(l + т2/тх) величину начальной потенциальной энергии притяжения зарядов, то шарики разойдутся на бесконечно большое расстояние и никогда не сблизятся. Когда массы шариков соизмеримы, коэффициент а отличен от единицы. Это отражает тот факт, что начальная кинетическая энергия системы в процессе взаимодействия шариков перераспределяется между ними. Если неограниченно увеличивать массу т, первоначально неподвижного шарика, то множитель а устремится к единице. Бесконечно тяжелый шарик будет оставаться неподвижным. Если при этом IV0ll < \lV0n\, то тело, притягивающееся к неподвижному шарику - притягивающему силовому центру, не сможет удалиться от этого центра на бесконечность.
1.5. Груз находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести mg и сил натяжения левого T1 и правого T2 отрезков веревки (см.
рис. 23), причем векторная сумма этих сил равна нулю. Из условия равновесия груза следует, в частности, что: T1 sina, = T2 Sina2, где а, и а2 - углы между вертикалью и левым и правым отрезками веревки соответственно. Из равенства A ABC и Д AOB вытекает, что a, + a2 = 90°. Учитывая это, из уравнения равновесия получаем, что: $ = T1/T2 = Xga2. С другой стороны, a Sina1 + ^sina2 = Ь,
или
acosa2 +^sina2 =b.
Следовательно,
cosa-j =
= —, a2 = 30°, а искомое отношение ? = l/л/з « 0,58.
1.6. Кубик находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести mg, архимедовой силы Fa и силы реакции со стороны подставок, которую, в свою очередь, удобно разложить на две составляющие: нор-
42 Решения задач
мальную N к наклонному дну и силу трения о подставки Flp (см. рис. 24). Отметим, что наличие подставок, на которых покоится кубик, играет в задаче важную роль, т.к. именно благодаря им вода окружает кубик со всех сторон и для определения силы, с которой вода действует на него, можно воспользоваться законом Архимеда. Если бы кубик лежал непосредственно на дне сосуда, и вода под него не подтекала, то результирующая поверхностных сил давления воды на кубик не выталкивала бы его наверх, а, наоборот, еще сильнее прижимала ко дну. В нашем случае на кубик действует выталкивающая с ил a Fa = р Ba3g, направленная вверх. Проецируя все силы на координатную ось, параллельную дну сосуда, запишем условие равновесия кубика в виде:
Frp = (mg-FJsina.
Учитывая, что масса кубика т = раа\ получаем ответ:
f^ =(р. -p„)a3gsina = 8,5H.
Рис. 24.
1.7. Поршни находятся в равновесии под действием сил, величины и направления которых указаны на рис. 25. Для облегчения анализа рисунка точки приложения некоторых сил условно смещены от их истинных положений. На самом деле точки приложения всех сил расположены на оси симметрии системы.
Будем использовать следующие обозначения: T-величина силы натяжения нити, которая в силу невесомости нити одинакова во всех ее точках, р0 - атмосферное давление, р - давление жидкости на уровне верхнего поршня. Поршни находятся в равновесии при выполнении условий: P0Si + T = pS, для верхнего поршня, и (р + рgl)S2 = P0S2 + T для нижнего поршня.
Из первого уравнения получаем, что T =(.р- • Отсюда видно, что ответ зависит от разности р- д,. Решая совместно эти уравнения, определим искомую силу натяжения:
(p+pgi)s,
Рис. 25.
T=Pgisls2 =500
43 Факультет BMuK
I.8. Считая, что длительность взаимодействия пули с телом при соударении пренебрежимо мала, можно утверждать, что во время соударения импульс системы "пуля + тело" сохраняется, т.е. mv = (M + т)и, где и -скорость тела с застрявшей в нем пулей сразу после соударения. Приобретя такую скорость, тело с пулей начинает совершать гармонические колебания, причем в момент наибольшего отклонения от положения равновесия начальная кинетическая энергия системы полностью переходит в потенциальную энергию сжатой пружины:
(М + т)и2 _кА2 2 2 Из этих соотношений следует, что
M + т _ (М + т)2 A2 к ~ m2v2 ' Как известно, период свободных колебаний груза массой т, прикрепленного к пружине жесткостью к, равен: T = 2л VmTT . Используя эту формулу, находим искомый период колебаний тела:
„ М + т
Г = 2л-А я 1,26 с.
mv
II. Молекулярная физика и термодинамика
II.1. Пусть давление газа в цилиндре при нагревании изменяется от начального значения р до конечногорх. При этом длина столба газа во второй части цилиндра, где температура постоянна, должна уменьшиться на величину /. Согласно закону Бойля-Мариотта, начальное и конечное давления во второй части цилиндра должны удовлетворять соотношению:
