Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
LSp = (L-I)Spl,
где S - площадь поршня. Согласно же объединенному газовому закону при повышении температуры на величину At в первой части цилиндра указанные давления должны удовлетворять соотношению:
LSp = (L + l)Spi T ~ T + AI '
где T а 21Ъ +1. Исключая из этих соотношенийр и р\, получаем ответ:
21Т
Ai =-»400 К.
L-I
44 Решения задач
11.2. Поршень, покоящийся в движущемся лифте, относительно инер-циальной системы отсчета движется с ускорением лифта а. Если ускорение направлено вверх, то уравнение движения поршня можно представить в виде: Ma = p^S- p0S -Mg. Если же ускорение направлено вниз, то Ma = Mg + р0 S- P2S. Здесь pi и р2- значения давления газа под поршнем соответственно в первом и втором случаях. Поскольку температура газа остается неизменной, то согласно уравнению Бойля-Мариотта давлення р і и рг должны удовлетворять соотношению: hS р] = (h + Ah)Sp2.
Решая совместно приведенные уравнения, находим ответ:
2М ah .
Ah =-= 4 см.
PoS + (g-a)M
11.3. При нагревании газ перемещает поршень, совершая изобарное расширение. Поскольку изобарическая молярная теплоемкость идеального одноатомного газа срм =2,5R, то для нагревания v молей газа на AT градусов при постоянном давлении газу необходимо сообщить количество теплоты Q = 2,5 v R AT .
Записывая уравнения начального и конечного состояний газа, имеем: рV = VRТ, p(V + lS) = vR(T + AT), где р - давление газа, V - начальный объем газа, T - его начальная температура. Отсюда vRAT = piS. Для опре-.Q деления давления газа воспользуемся условием механического равновесия поршня под действием сил, величины Рис. 26. и направления которых, изображены на рнс. 26:
р S = р0 S + M g sin а .
Объединяя записанные выражения, получаем ответ: Q = 2,5l(p0S + M gsina)*74Jlx-
III. Электродинамика
III.1. Поскольку по условию задачи шары достаточно удалены друг от друга, их потенциалы до соединения проводом можно определить по формуле для потенциала уединенной заряженной сферы. Имеем:
,„ _ Й2
Ф. = --. Фг = -•
4яе0/] 4nz0r2
MgL.
45 Факультет BMuK
После соединения шаров проводом заряды на них перераспределятся так, что потенциалы шаров станут равными друг другу, т.е.:
Следовательно, я'\/г\ = q'2jr2 . Пренебрегая емкостью провода, получим согласно закону сохранения заряда q\ + я'2 = Я\ +Я2 ¦
Из последних двух уравнений находим заряды на шарах после их соединения:
у. <h+Iir -._Ч\+Ягг
q - ru q - г2.
г\+гг П+г2
Следовательно, по проводу после соединения шаров должен протечь заряд
q = qx-q'^q-2-q2= я 1>7.10"9 Кл.
1 + rI
111.2. Повторяя рассуждения, приведенные в задаче III. 1, находим заряды на шарах после соединения их проводом:
V-IlIL Я\~ > Яг -
г\ +гг г\+гг
где q - заряд на каждом из шаров до их соединения. По закону Кулона сила взаимодействия шаров до и после соединения равна, соответственно:
F= ql и F'= q'iq'2 4 яZ0R2 4яZ0R2 '
где R - расстояние между шарами. Объединяя полученные выражения, находим ответ:
F' =F- 4г,Ґ2 =--10'4 И. (1 +г2)\ 9
111.3. Мощность, развиваемая нагревательным элементом с сопротивлением R, подключенным к аккумулятору с ЭДС f и внутренним сопротивлением г, равна W1 = E2 R[(r + R)2. При подключении этого же элемента к двум одинаковым аккумуляторам, соединенньм последовательно, значения ЭДС и внутреннего сопротивления удваиваются, и нагреватель развивает мощность W2 = 46'2я/(2г + R)2. Из этих двух соотношений сле-
46 Решения задач
дует, что ~JW2/Wx = 2(r + R)/(2r + R). Решая последнее уравнение, получаем ответ:
R=2r№?zL=l0M.
2-JW2ZW1
III.4. При подключении заряженного конденсатора к катушке в образовавшемся контуре возникают электромагнитные колебания. Поскольку сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало, эти колебания следует считать гармоническими, причем частота этих колебаний должна быть равна ш0 = 1 / ^LC , а заряд конденсатора будет меняется во времени по закону q(t) = ^0Jcos(OJ0 /)|, где Q0 =C U - его начальный заряд. При этом суммарная энергия электрического н магнитного поля в контуре должна сохраняться, т.е. должно выполняться соотношение:
gl = q\t) х LI2U) 2С 2С 2
Следовательно, величина тока через катушку в заданный момент I0
I1
sin
¦¦ 0,7 А.
111.5. Поскольку период электромагнитных колебаний в контуре без
потерь определяется формулой Томсона T = 2n-v/Zc, отношение периода
колебаний Г" после замыкания ключа к периоду колебаний T' до его за-
Т" \С" CC С +С
мыкания а = — =,—, где С'= 2—!—— и С" = —-- - емкости батареи
Г \С" C1+C2 2
конденсаторов при разомкнутом и замкнутом ключе, соответственно.
Отсюда получаем ответ:
а= С' + Сз =1,25.
2
111.6. После замыкания ключа в цепн возникают гармонические колебания, в процессе которых происходит периодическая перезарядка конденсаторов. В каждый момент времени суммарное напряжение на конденсаторах равно напряжению на катушке, которое, в свою очередь, опережает по фазе ток в цепи на я / 2 . В момент достижения максимального напряжения
