Задачи вступительных экзаменов и олимпиад по физике в МГУ в 2000 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
IV.6. Оптическая система состоит из двух одинаковых собирающих линз с фокусным расстоянием/, расположенных друг за другом так, что их фокусы и главные оптические оси совпадают. Предмет находится на расстоянии а </перед первой линзой. На каком расстоянии b от второй линзы будет располагаться изображение предмета?
38 Решения задач
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.1. Рассмотрим соударение шарика с закрепленной подставкой. При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия шарика сохраняется, откуда следует, что модуль V1 скорости шарика после удара равен модулю V0 его скорости перед ударом. При этом нормальная к площадке составляющая скорости шарика после удара меняет направление на противоположное, а касательная к площадке составляющая скорости остается неизменной (см. рис. 21). Следовательно, при упругом соударении с неподвижной площадкой угол а, между нормалью к площадке п и скоростью после удара v, равен углу а между нормалью и скоростью перед ударом V0. По условию задачи а = 45°, поэтому V1IV0, причем ско-
Рис 21
рость V1 шарика непосредственно после удара направлена горизонтально.
По закону сохранения энергии, при падении шарика с высоты H - h величина его скорости V0 = ^2g(H-h). Падение шарика после соударения с площадкой происходит с начальной горизонтальной скоростью V1=V0 . Дальность полета шарика равна Z = V1T, где т = ^2h/g - время падения с высоты h. Из полученных соотношений следует, что искомая дальность полета равна:
L = 2^(//-/I) = 1,7M.
1.2. Поскольку при движении автомобиля по горизонтальной дороге приложенные к нему вертикальные силы уравновешены, исключим эти силы из рассмотрения. В горизонтальном направлении на автомобиль действуют две силы: сила трения покоя, приложенная к его ведущим колесам со стороны дорожного покрытия, и сила сопротивления воздуха. Первая из этих сил возникает при передаче крутящего момента от двигателя к ведущим колесам и обычно называется силой тяги двигателя. По условию задачи при движении автомобиля она постоянна. Вторая из перечисленных сил представляет собой силу вязкого трения, которая в рамках принятой модели пропорциональна скорости автомобиля.
39 Факультет BMuK
Пусть F величина силы тяги двигателя автомобиля, т - масса автомобиля, а к - коэффициент вязкого трения. Тогда уравнение движения автомобиля в момент времени t будет иметь вид: ma(t) = F ~kv(t). По условию в момент начала движения (у = 0) ускорение автомобиля равно аь при скорости V ускорение равно а2, а при движении со скоростью V0 ускорение равно нулю. Следовательно, max=F, та2 = F- kv и F = kv0, а потому искомая скорость равна:
V0 =vaj(ax -а2 ) = 100 км/ч.
f4
1.3. Силы, действующие на тело в момент, когда оно оказывается на шероховатой поверхности, изображены на рис. 22, где вве-
N дены следующие обозначения: Ftjj - сила трения, N - нор-—^ мальная составляющая силы реакции, mg - сила тяжести. Тр rWg В соответствии с этим, полное ускорение тела а удобно разложить на две составляющие: касательную ах и нор-Рис- мальную ап к поверхности полусферы. Тогда величина ус-
корения тела равна а = у]а\ + of . Записывая уравнения движения тела в проекциях на касательное и нормальное к поверхности полусферы направления, имеем в рассматриваемый момент времени:
тах = Frp = |ДAr, man = N-mg .
Учитывая, что а„ =V2 / R, где v - скорость тела, из последнего уравнения получим: N = mv2/R + mg . Величину v в нижней точке полусферы найдем, используя закон сохранения механической энергии, применимый в данном случае, т.к. вплоть до этой точки тело скользило по гладкой поверхности: 0,5тV2 = mgR. Объединяя записанные соотношения, находим:
a„=2g, a,=3^g, a = WV+4 =20,5 м/с2.
Отметим, что полученный результат позволяет также легко найти угол а, который образует ускорение тела с вертикалью в рассматриваемый момент времени. В самом деле, a = arctgaT/a„ = arctg 1,5ц ® 12°40'.
1.4. Движение шариков происходит под действием силы электростатического притяжения, которая является внутренней силой для рассматриваемой системы. Следовательно, суммарный импульс шариков остается
40 Решения задач
постоянным. Запишем закон сохранения импульса в проекции на координатную ось, положительное направление которой совпадает с направлением начальной скорости второго шарика:
Itl2Vq = miV[ + Ht2V2 ,
где V1 и U2 - проекции скоростей шариков в произвольный момент времени.
Кулоновские силы являются потенциальными, поэтому полная механическая энергия системы также сохраняется. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов равна
W
п — . >
4яє0г
где г - расстояние между зарядами. Заметим, что для разноименных зарядов потенциальная энергия отрицательна и возрастает при удалении зарядов друг от друга. В соответствии с этим кинетическая энергия шариков будет убывать по мере увеличения расстояния между ними, и закон сохрі-иения энергии запишется в виде:
т2 V1O , Ч\ 42 JnI vI , т2 vI , 41 42 2 4яє0/ 2 2 4яе 0L'
При удалении шариков на максимальное расстояние их относительная скорость vOTH =V1-V2 обратится в нуль. Это утверждение становится очевидным, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из шариков. В этой системе движение второго шарика подобно движению камня, брошенного вертикально вверх от поверхности Земли. Ясно, что момент остановки второго шарика относительно первого действительно соответствует максимальному удалению шариков друг от друга. Таким образом, когда расстояние между шариками максимально, V1=V2=V. Используя это равенство, преобразуем исходную систему уравнений к виду:
