Задачи вступительных экзаменов по физике. Выпуск 6 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ_ О Физический Факультет МГУ
28 II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕПЛОТА
II. 1. Поскольку при начальной температуре адсорбированные молекулы газа полностью покрывают внутреннюю поверхность шара S — 4тег2 мономолекулярным слоем, причем одна молекула занимает площадь s, число адсорбированных молекул равно N1 = S/s. Кроме этих молекул внутри шара, если, как обычно, газ считать идеальным, согласно уравнению Клапейрона-Мен-делеева должно находиться еще N2 = 4Jtr3P1Na/SRT1 молекул, где Na и 6,02 • IO23моль"1- число Авогадро, R » 8,31 Дж/моль ¦ К - газовая постоянная, a T1 « 273 + tt - температура газа по шкале Кельвина. При нагревании шара до абсолютной температуры T2 и 273 + t2 по условию задачи на внутренних стенках не остается молекул газа и, следовательно, давление внутри шара должно стать равным р2 = 3(Nt + N2)RT2/4jcr3Na . Отсюда следует, что при нагревании до заданной температуры давление внутри шара должно увеличиться на А р = р2 - P1 = = PiOyT1 - 1) + 3RT2/rsNa « 15,4 Па.
II.2. Давление р идеального газа, занимаемый им объем V и его абсолютная температура T согласно уравнению Клапейрона-Менделеева должны удовлетворять соотношению: pV = ВТ, где величина В равна произведению газовой постоянной на число молей газа. Поскольку при рассматриваемом процессе число молей газа следует считать неизменным, то и величина В должна оставаться постоянной. Если давление газа и занимаемый им объем в исходном состоянии обозначить P0 и Vq, соответственно, то по условию задачи зависимость давления газа от занимаемого им объема можно представить в виде: р = р0 -. . ' і
-a(V-V0), где а - положительная постоянная величина, опре-
© Физический факультет МГУ
РЕШЕНИЯ
29 II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
T0
делающая скорость изменения давления газа при изменении занимаемого газом объема. Отсюда следует, что температура газа T является квадратичной функцией занимаемого им объема: ВТ = (ро + aVo)V - aV2. График этой зависимости показан на рисунке. При построении графика было учтено, что температура газа в исходном и конечном состояниях одинакова, тле. произведения давления газа на занимаемый им объем по условию в этих состояниях равны. Из полученной выше зависимости температуры газа от занимаемого им объема и приведенного графика следует, что при температурах, меньших максимальной Tm, газ может занимать два разных объема: і kT Vli2 = [ро + aV0 ± V(Po + aV0)2 - 4аВТ]/2а,
величины которых стремятся друг к другу по мере приближения температуры газа к макси-
і у мальной. Следовательно, искомая температура
0 0 nV° равна Tm = (Po + aV0)2/4aB. Учитывая, что в конечном состоянии давление газа в п раз меньше, а его объем во столько же раз больше, чем в исходном состоянии, получим a = p0/nV0. Подставляя это значение в предыдущее выражение и учитывая, что В = p0V0/T0, найдем Tm = (n + l)2T0/4n = 9Т0/8.
II.3. Считая, что нагревание газа в цилиндре происходит достаточно медленно, можно утверждать, что давление р газа в цилиндре остается неизменным. Поэтому работу газа можно найти из соотношения: ДА = pAV, где AV - изменение объема газа. При изобарическом изменении объема v молей газа согласно уравнению Клапейрона-Менделеева его температура должна измениться на величину AT = pAV/vR, где R - газовая постоянная. Учитывая, что при изобарическом процессе молярная теплоемкость идеального одноатомного газа равна 2,5R, получим, что искомое количество теплоты равно AQ = 2,5vRAT = 2,5 AA.
РЕШЕНИЯ
30
© Физический факультет МГУ II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ІІ.4. Абсолютная температура T моля идеального газа, заполняющего объем V под давлением р, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева равна T = pV/R, где R - газовая постоянная. Поэтому разность температур газа в конечном и начальном состояниях должна быть равна AT = pHVH(k/n - 1)/R, где рн и Vh - давление и объем газа в исходном состоянии. Поскольку внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа равна W = 1.5RT, то ее изменение при рассматриваемом процессе равно AW = 1.5RAT. Количество теплоты AQ1 переданное газу при изменении его состояния, согласно первому закону термодинамики превышает изменение его внутренней энергии на величину совершенной газом работы, которую можно найти с по-^P мощью рV-диаграммы данного процесса, показан-
ной на рисунке. Действительно, силы, действующие на стенки сосуда со стороны газа при квази-IV равновесном изменении его состояния, направлены
^ перпендикулярно стенкам. Поэтому работа газа
при изменении его объема на величину AV при постоянном давлении р равна AA = pAV. На основании этого можно утверждать, что работа газа при квазиравновесном изменении давления определяется площадью pV-диаграммы, ограниченной графиком p(V), перпендикулярами, восставленными к оси V в точках, соответствующих начальному и конечному объему газа, и осью V. Используя формулу для вычисления площади трапеции, получим А = pHVH(k - l)(n + 1)/2п. Таким образом, искомое отношение AQ/AT = [(k - l)(n + 1)/2(к - n) + 1,5]R. Отметим, что искомое отношение можно рассматривать как среднюю молярную теплоемкость газа. Если температуры газа в начальном и конечном состояниях одинаковы (что будет иметь место при n = к), то, как следует из полученнрго выражения, средняя теплоемкость получается равной бесконечности, как и
