Задачи вступительных экзаменов по физике. Выпуск 6 - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
1.6. На движущуюся вдоль наклонной плоскости шайбу действуют сила тяжести mg (m - масса шайбы, g - ускорение свободного падения) и сила реакции со стороны наклонной плоскости. Влиянием воздуха, поскольку противное не оговорено в условии, как обычно, будем пренебрегать. Нормальная составляющая силы реакции направлена перпендикулярно траектории движения шайбы, а потому ее работа равна нулю. Работа же тангенциальной составляющей этой силы (силы сухого трения) |img cos а при подъеме шайбы на высоту h равна ^mghctga. Считая лабораторную систему отсчета инерциальной - изменением кинетической энергии Земли при движении шайбы
© Физический факультет МГУ 1-3*
РЕШЕНИЯ
19 I, МЕХАНИКА
пренебрегаем, - согласно закону изменения механической энергии можно утверждать, что
hivq/2 = mgH + nmgHctga. (1)
Здесь H - максимальная высота, на которую поднялась шайба. Поскольку по условию задачи ц < tga, шайба после остановки начнет скользить вниз. В момент прохождения шайбой первоначального положения в соответствии с законом изменения механической энергии и с учетом ранее сделанных замечаний должно выполняться соотношение:
mv2/2 = mgH-nmgHctga. (2)
При составлении этого выражения учтено, что направление силы сухого трения при скольжении шайбы вниз изменилось на противоположное. Складывая уравнения (1) и (2), а затем вычитая их друг из друга и почленно деля полученные результаты, получим: (v0 - v2)/(v? + v2) = (ictga. Отсюда модуль искомой скорости v = v0 ^/(tga - n)/(tga + ц).
1.7. Двигатели ракеты совершают работу над выбрасываемыми газами, увеличивая их кинетическую энергию. Поэтому, считая, что в расчете на единицу времени из двигателей выбрасывается масса газа, равная ц, и все частицы газа имеют одинаковые скорости v, мощность двигателей ракеты N = |iv2/2. Учитывая, что сила тяги двигателей (реактивная сила) F= -цу, и условие зависания ракеты имеет вид mg + F=O, получим N = mgv/2. Отсюда искомая скорость v = 2Ng/g2.
1.8. При решении задачи не будем учитывать действия воздуха на движение тел и рассмотрим три характерных промежутка времени.
Первый из этих промежутков начинается в момент отпускания шарика и заканчивается в момент касания шариком кубика. Пренебрегая массой нити и считая лабораторную систему отсчета инерциальной, на основании закона сохранения меха-
ЗАДАЧИ _© Физический факультет МГУ
20 J. МЕХАНИКА
нической энергии можно утверждать, что к моменту окончания рассматриваемого промежутка времени скорость шарика будет направлена горизонтально и равна v = ^2gL(l- cos a).
Во время второго промежутка времени происходит упругое соударение шарика с кубиком. Поскольку противное не оговорено в условии задачи, будем, как обычно, считать, что длительность этого промежутка и деформации соударяющихся тел столь малы, что можно пренебречь смещениями шарика и кубика во время соударения. При этих условиях работу сил тяжести, действующих на кубик и шарик, за рассматриваемый і промежуток времени следует считать равной нулю и, кроме , того, следует пренебречь импульсом силы трения, действую-- щей на кубик со стороны плоскости. Учитывая сказанное, равенство масс кубика и шарика и то, что по условию задачи удар является абсолютно упругим, а кубик после соударения может двигаться лишь поступательно, на основании законов сохранения импульса и механической энергии можно утверждать, что после соударения шарик будет висеть неподвижно : на натянутой вертикально нити, а кубик будет двигаться со скоростью, которую имел шарик непосредственно перед соударением.
В течение заключительного промежутка времени кубик движется замедляясь с ускорением a=ng, обусловленным дей-. • ствием силы сухого трения со стороны плоскости. Поэтому искомое перемещение кубика равно Дх = v2/2a = L(1 - cosa)/n.
1.9. Для решения задачи рассмотрим три характерных временных промежутка. .
Первый промежуток начинается с момента отпускания бруска и заканчивается в момент касания бруском кубика. Поскольку брусок отпускают без начальной скорости и он движется по горизонтальной плоскости без трения, то на основа-
© Физический факультет МГУ
РЕШЕНИЯ
21 I. МЕХАНИКА
нии закона сохранения механической энергии непосредственно перед ударом скорость бруска должна быть равна V = Jк/МДх.
В течение второго промежутка происходит соударение бруска и кубика. При этом сила трения, действующая на кубик, изменяется от нуля до (xmg, где m - масса кубика. Полагая, как обычно, что время соударения бруска и кубика достаточно мало, можно во время удара пренебречь импульсом силы трения, действующей на кубик со стороны плоскости, по сравнению с импульсом силы, действующей на кубик со стороны бруска. Поскольку по условию задачи пружина в момент удара W деформирована, можно считать, что пружина не действует на брусок во время соударения. Отсюда следует, что систему, состоящую из бруска и кубика, во время соударения можно считать замкнутой. Тогда, согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение:
MV = MU + mu, (1)
где Uhu- скорости бруска и кубика непосредственно после соударения. Поскольку работа сил тяжести и нормальной составляющей сил реакции плоскости, действующих на кубик и брусок, равна нулю (эти силы перпендикулярны возможным перемещениям указанных тел), удар бруска о кубик является идеально упругим и в силу малой длительности соударения смещением кубика и бруска (а следовательно, и работой сил трения и деформации пружины) можно пренебречь, механическая энергия рассматриваемой системы должна оставаться неизменной, т.е. должно иметь место равенство:
