Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Элементарная теория. Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления. Опыты показывают, что в этом случае гироскоп ведет себя весьма необычным образом.
Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 4.3) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой F , то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.
Опытным путем можно установить, что угловая скорость прецессии зависит не только от величины силы F (рис. 4.3), но и от того, к какой точке оси гироскопа эта сила приложена: с увеличением F и ее плеча ? относительно точки закрепления О скорость прецессии увеличивается. При этом оказывается, что чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше угловая скорость прецессии при данных F и Є.
В качестве силы F, вызывающей прецессию, может выступать сила тяжести, если точка закрепления гироскопа Рис. 4.3
С
........ 58
Механика
Рис. 4.4
не совпадает с центром масс. Так, если стержень с быстро вращающимся диском подвесить на нитке (рис. 4.4), то он не опускается вниз, как это можно было бы предположить, а совершает прецессионное движение вокруг нитки. Наблюдение прецессии гироскопа под действием силы тяжести в некотором смысле даже удобнее — линия действия силы "автоматически" смещается вместе с осью гироскопа, сохраняя свою ориентацию в пространстве.
Можно привести и другие примеры прецессии — например, движение оси хорошо известной детской игрушки — юлы с заостренным концом (рис. 4.5). Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести (рис. 4.5).
Точное решение задачи о движении гироскопа в поле внешних сил довольно сложно. Однако, выражение для угловой скорости прецессии можно легко получить в рамках так называемой элементарной теории гироскопа. В этой теории делается допущение, что мгновенная угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа. Другими словами, предполагается, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси значительно больше угловой скорости прецессии: ю »Q., (4.5)
так что вкладом в L, обусловленным прецессионным движением гироскопа, можно пренебречь. В этом приближении момент импульса гироскопа, очевидно, равен
L = JzO, (4.6)
где Jz- момент инерции относительно оси симметрии.
Итак, рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.6).
Момент силы тяжести относительно точки S
M = mg? sin 8 , (4.7)
С
\ ' —<- \ \ ^^ \ // о г Ymg /Г
Рис. 4.5 Лекция 1
59
Q
Q dt ^ 4 rdL
" // j / /п /
\ \ \
zX о/ J ' / M
^^^^^ N \ mg
где 8 ~~ угол между вертикалью и осью симметрии гироскопа. Вектор M направлен по нормали к плоскости, в которой лежат ось симметрии < гироскопа и вертикаль, проведенная 4 через точку S (рис. 4.6). Сила реакции опоры проходит через S, и ее момент относительно этой точки равен нулю.
Изменение момента импульса L определяется выражением
dL = M • dt. (4.8) При этом и L, и ось волчка прецес-сируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью Q. Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие (4.5) и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа. Из рис ^ ?
рис. 4.6 следует, что
dL = L sin 8 Q. dt • (4.9)
В векторном виде
dL = Q X L • dt. (4.10)
Сравнивая (4.8) и (4.10), получаем следующую связь между моментом силы М, моментом импульса L и угловой скоростью прецессии Q:
M=QxL. (4.11)
Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси.
Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное «выключение» M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.
Сила, вызывающая прецессионное движение, может иметь любую природу. Для поддержания этого движения важно, чтобы вектор момента силы M поворачивался вместе с осью гироскопа. Как уже было отмечено, в случае силы тяжести это достигается автоматически. При этом из (4.11) с учетом того, что в нашем приближении справедливо соотношение (4.6), можно получить:
mg? • sine = OlzCOSin8. (4.12)
Отсюда для угловой скорости прецессии получаем
Q. =
mg I
(4.13)
JzQ) '
Следует отметить, что Q. не зависит от угла 8 наклона оси гироскопа и обратно пропорциональна ю , что хорошо согласуется с опытными данными.
Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Отход от элементарной теории. Нутации. Опыт показывает, что прецессионное движение гироскопа под действием внешних сил в общем случае сложнее, чем то, которое 60
