Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Механика
было описано выше в рамках элементарной теории. Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол 8 (см. рис. 4.6), то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими колебаниями вершины гироскопа — нутациями. Для их описания необходимо учесть несовпадение вектора полного момента импульса L, мгновенной угловой скорости вращения со и оси симметрии гироскопа.
Точная теория гироскопа выходит за рамки курса общей физики. Из соотношения dL = Mdt следует, что конец вектора L движется в направлении М, то есть перпендикулярно к вертикали и к оси гироскопа. Это значит, что проекции вектора L на вертикаль Lb и на ось гироскопа L0 остаются постоянными. Еще одной постоянной является энергия
E = T + mg^cos9, (4.14)
где T — кинетическая энергия гироскопа. Выражая LB, L0 и T через углы Эйлера и их производные, можно с помощью уравнений Эйлера описать движение тела аналитически.
Результат такого описания оказывается следующим: вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гироскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутации. Вершина конуса нутации, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутации совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутации определяется выражением
L Jzco
«нут= — » — , (4.15)
^s ^ s
где Jz и Js — моменты инерции гироскопа относительно его оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии, со — угловая скорость вращения вокруг оси симметрии (сравн. с (3.64)).
Таким образом, ось гироскопа участвует в двух движениях: нутационном и прецессионном. Траектории абсолютного движения вершины гироскопа представляют собой замысловатые линии, примеры которых представлены на рис. 4.7.
Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае рис. 4.7а гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае рис. 4.76 ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае рис. 4.7в — толчок назад по ходу прецессии. Кривые на рис. 4.7 вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону. И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза.
Может показаться странным: почему гироскоп, будучи раскручен, установлен под углом к вертикали и отпущен, не падает под действием силы тяжести, а движется вбок? Откуда берется кинетическая энергия прецессионного движения? Лекция 1
61
Рис. 4.7
Ответы на эти вопросы можно получить только в рамках точной теории гироскопа. На самом деле гироскоп действительно начинает падать, а прецессионное движение появляется как следствие закона сохранения момента импульса. В самом деле, отклонение оси гироскопа вниз приводит к уменьшению проекции момента импульса на вертикальное направление. Это уменьшение должно быть скомпенсировано моментом импульса, связанным с прецессионным движением оси гироскопа. С энергетической точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопа.
Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после "запуска" гироскопа нутации исчезают и остается чистая прецессия (рис. 4.8). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали (O2) оказывается больше, чем он был вначале (Q1), то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецес-сировать вокруг вертикальной оси.
Гироскопические силы. Обратимся к простому опыту: возьмем в руки вал AB с насаженным на него колесом С (рис. 4.9). Пока колесо не раскручено, не представляет никакого труда поворачивать вал в пространстве произвольным образом. Но если
колесо раскручено, то попытки повернуть вал, например, в горизонтальной плоскости с небольшой угловой скоростью О. приводят к интересному эффекту: вал стремится вырваться из рук и повернуться в вертикальной плоскости; он действует на кисти рук с определенными силами Ra и Rb (рис. 4.9).
Рис. 4.1 62
Механика
Рис. 4.9
Требуется приложить ощутимое физическое усилие, чтобы удержать вал с вращающимся колесом в горизонтальной плоскости.
Рассмотрим эффекты, возникающие при вынужденном вращении оси гироскопа, более подробно. Пусть ось гироскопа укреплена в U-образной раме, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси OO' (рис. 4.10). Такой гироскоп обычно называют несвободным — его ось лежит в горизонтальной плоскости и выйти из нее не может.
