Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
аь
di
dj
dk
(3.45)
Здесь использован символ ^ , чтобы подчеркнуть, что рассматриваются изменения во времени проекций Lx, Ly и Lz относительно подвижной системы xyz — системы, которая, в свою очередь, поворачивается вместе с телом с мгновенной угловой скоростью со .
Что касается производных по времени от единичных векторов i, j, k , то их изменения во времени обусловлены только вращением системы xyz с угловой скоростью со , поэтому
di dj dk
^7 = ЮХІ; -T- = со X J - — = oxk dt 'dt ' dt
(см. рис. 3.15). Подставляя эти выражения в (3.45), получим:
3L
(3.46)
at
+ со X L = О
Преобразование
dL 3L
+ со X L
(3.47)
(3.48)
dt at
находится в полной аналогии с преобразованием скорости при переходе от неподвижной к вращающейся системе координат. Существенно, что наблюдатель, находящийся в системе xyz, фиксирует только отно-
3L
сительное изменение L (член "^jT). Для наблюдателя
в лабораторной системе к относительному изменению L добавляется его "переносное" изменение, связанное с вращением системы xyz с мгновенной угловой скоростью со.
Проецируя векторы L и со на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом, получим:
^Lv т ТА.
+ (OyLz - CozLv = О,
1-sina |di|= 1-sina- dcp;
Jf = 1-sina-d^; dt dt
Рис. 3.15
at aL
z У
at aL
y + (OzLx - CoxLz = 0;
+ (OxLv - COvLx = 0.
at y y
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Поскольку оси Ox, Oy и Oz — главные оси инерции для точки закрепления, то Lx = Jx(ox, Ly = JyCoy, Lz = JzCoz, и из (3.49-3.51) будем иметь следующие уравнения: 52
Механика
Jx ^ + ®y®z (Jz - Jy) = О; (3.52) d(ov
Jy + ®z®x(Jx -JzJ = O; (3.53)
Jz ^ + ®x®y(Jy - Jx) = 0, (3.54)
где Jx, Jy, Jz — главные моменты инерции тела. Обычно эти уравнения называют уравнениями Эйлера при отсутствии моментов внешних сил.
В частном случае (рис. 3.14) Jx= Jy, и из (3.52-3.54) получаем:
3Q)v
+ (oyq)0=o; (3.55)
jX
IT
эюу
-^-(oxq)0=O; (3.56)
3c0Z А
^r=0' <3-57>
где введено обозначение
Jz Jy
Jv
юо = mZ ¦ " т J . (3.58)
Из (3.57) следует, что (oz = const, то есть проекция вектора со на ось
симметрии тела остается постоянной. Ясно, что ю0 — также постоянная величина. Ее физический смысл становится понятным, если записать решение уравнений (3.55, 3.56):
юх = <и± cos(co0t + ф); юу = <и± sin(a>0t + ф), (3.59)
где ю_|_ = д/юх + юу — проекция вектора со на плоскость ху.
Таким образом, вектор со составляет с осью симметрии тела угол
а - ю±
Э = arctg —— и вращается вокруг этой оси, как следует из (3.59), с постоян-
Wz
ной угловой скоростью <й0. Начальная фаза ф этого вращения определяется начальными условиями.
Посмотрим, как будет выглядеть движение твердого тела в лабораторной системе x0y0z0. Поскольку нам известны значения юх, юу и coz , то закон движения тела (зависимость углов Эйлера от времени) в принципе может быть получен из кинематических уравнений Эйлера (1.30 - 1.32). Однако это связано с решением в общем случае довольно сложных дифференциальных уравнений, поэтому мы ограничимся качественным рассмотрением движения тела. В силу того, что Лекция 1
53
L = Jx(oxi + JyCOyj + Jz(ozk
(3.60)
(i, j, к — орты главных осей инерции тела), a Jx = Jy, можно записать
L = Jz(ozk + Jx (toxi + (Oyj) + Jx(ozk - Jx(ozk (3.61)
Здесь добавлен и вычтен член Jxcozk, что позволяет представить (3.61) в виде
L = (Jz - Jx)(ozk + Jxc (3.62)
Отсюда видно, что к (ось фигуры), Lho лежат в одной плоскости. Из (3.62) следует, что
где
со = ?2 - (onk.
?2 =
(3.63)
(3.64)
Рис. 3.16
есть составляющая угловой скорости по направлению L. Плоскость, в которой лежат ось фигуры, со и L, поворачивается (прецессирует) вокруг направления L с угловой скоростью ?2 , называемой скоростью прецессии (рис. 3.16). Само движение называется регулярной прецессией свободного симметричного волчка.
Отметим, что в случае веретенообразного тела, изображенного
на рис. 3.16, Jz < Jx , поэтому ю0 < О
(см. (3.58)), и вектор -ю0к направлен в ту же сторону, что и к.
Замечание 1. Закрепление аксиально симметричного твердого тела в центре масс может быть выполнено не только с помощью карданова подвеса, но, например, так, как показано на рис. 3.17. Массивное тело, сечение которого плоскостью рисунка заштриховано, шарнирно закреплено в точке О, совпадающей с центром масс тела.
Замечание 2. Используя построение Пуансо (см. лекцию №2), регулярной прецессии свободного симметричного волчка можно дать наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 3.18).
Момент импульса L тела относительно неподвижного центра масс О представляет собой вектор, постоянный по величине и направлению. Эллип-
Puc. 3.17 54
Механика
соид инерции тела с центром в точке О, сечение которого изображено на рис. 3.18, является эллипсоидом вращения. Касательная к эллипсоиду
плоскость BB' проведена через полюс P пересечения мгновенной угловой скорости со с эллипсоидом; эта плоскость перпендикулярна к вектору L и в лабораторной системе отсчета сохраняет свое положение неизменным. При регулярной прецессии волчка эллипсоид инерции тела катится
