Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
по плоскости BB' без скольжения, так что геометрическим местом полюсов P является окружность радиуса R, принадлежащая плоскости BB'.
Замечание 3. Во избежание путаницы отметим следующее. Описанное выше движение связано с изменением угла прецессии V (см. рис. 1.3), поэтому оно и было названо регулярной прецессией (кинематическое определение). Однако существуют определения прецессии как движения оси симметрии тела под действием момента внешних сил (динамическое определение, см. лекцию №4). Описанное же выше движение с точки зрения динамического определения называют нутацией.
Рис. 3.18 Лекция 1
55
ЛЕКЦИЯ №4.
Гироскопы. Свободный гироскоп. Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Угловая скорость прецессии. Нутации. Гироскопические силы, их природа и проявления.
Волчки. Устойчивость вращения симметричного волчка.
Гироскоп — это массивное аксиально-симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.
Свободный гироскоп. В этом случае моменты всех внешних сил, включая и силу тяжести, относительно центра масс гироскопа равны нулю. Это можно реализовать, например, поместив гироскоп в карданов подвес, описанный в лекции №3 и изображенный на рис. 3.13. При этом
M = O;
dL
dt
= 0,
(4.1)
и момент импульса сохраняется:
L = const. (4.2)
Гироскоп ведет себя так же, как и свободное тело вращения (см. лекцию №3). В зависимости от начальных условий возможны два варианта поведения гироскопа:
1. Если гироскоп раскручен вокруг оси симметрии, то направления момента импульса и угловой скорости совпадают:
L = Jo = const, (4.3)
и направление оси симметрии гироскопа остается неизменным. В этом можно убедиться, поворачивая подставку, на которой расположен карданов подвес — при произвольных поворотах подставки ось гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве. По этой же причине волчок, "запущенный" на листе картона и подброшенный вверх (рис. 4.1), сохраняет направление своей оси во время полета, и, падая острием на картон, продолжает устойчиво вращаться, пока не израсходуется запас его кинетической энергии.
Свободный гироскоп, раскрученный вокруг оси симметрии, обладает
весьма значительной устойчивостью. Из основного уравнения моментов следует, что изменение момента импульса
Рис. 4.1 56
Механика
At
AL=JMdt. (4.4)
о
Если интервал времени At мал, то и AL мало, то есть при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение гироскопа изменяется незначительно. Гироскоп как бы сопротивляется попыткам изменить его момент импульса и кажется «затвердевшим».
Возьмем гироскоп конусообразной формы, опирающийся на стержень подставки в своем центре масс О (рис. 4.2). Если тело гироскопа не вращается, то оно находится в состоянии безразличного равновесия, и малейший толчок сдвигает его с места. Если же это тело привести в быстрое вращение вокруг своей оси, то даже сильные удары деревянным молотком не смогут сколько-нибудь значительно изменить направление оси гироскопа в пространстве. Устойчивость свободного гироскопа используется в различных технических устройствах, например, в автопилоте.
2. Если свободный гироскоп раскручен так, что вектор мгновенной угловой скорости и ось симметрии гироскопа не совпадают (как правило, это несовпадение при Рис. 4.2 быстром вращении бывает незначительным),
то наблюдается движение, описанное в лекции №3 как "свободная регулярная прецессия". Применительно же к гироскопу его называют нутацией. При этом ось симметрии гироскопа, векторы Lho лежат в одной плоскости, которая вращается вокруг направления L = const с
L
угловой скоростью, равной — , где J — момент инерции гироскопа относи-
I х
J X
тельно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии. Эта угловая скорость (назовем ее скоростью нутации) при быстром собственном вращении гироскопа оказывается достаточно большой, и нутация воспринимается глазом как мелкое дрожание оси симметрии гироскопа.
Нутационное движение легко продемонстрировать с помощью гироскопа, показанного на рис. 4.2 — оно возникает при ударах молотком по стержню вращающегося вокруг своей оси гироскопа. При этом чем сильнее раскручен гироскоп, тем больше его момент импульса L — тем больше скорость нутации и тем "мельче" дрожания оси фигуры. Этот опыт демонстрирует еще одну характерную особенность нутации — с течением времени она постепенно уменьшается и исчезает. Это — следствие неизбежного трения в опоре гироскопа.
Наша Земля — своего рода гироскоп, и ей тоже свойственно нутационное движение. Это связано с тем, что Земля несколько приплюснута с
полюсов, в силу чего моменты инерции относительно оси симметрии (j z ) и Лекция 1
57
относительно оси, лежащей в экваториальной плоскости (jx, Jy) различа-
Jz-Jx 1
ются. При этом Jx = Jy, а —--~ ^ . В системе отсчета, связанной с Землей, ось вращения движется по поверхности конуса вокруг оси симметрии Земли с угловой скоростью ю0, рассчитываемой по формуле (3.58), то есть она должна совершать один оборот примерно за 300 дней. На самом деле в силу, как предполагается, неабсолютной жесткости Земли, это время оказывается больше — оно составляет около 440 суток. При этом расстояние точки земной поверхности, через которую проходит ось вращении, от точки, через которую проходит ось симметрии (Северный полюс), равно всего нескольким метрам. Нутационное движение Земли не затухает — по-видимому, его поддерживают сезонные изменения, происходящие на поверхности нашей планеты.
