Механика твердого тела - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4. С гироскопическим эффектом мы сталкиваемся и при езде на велосипеде (рис. 4.15). Совершая, например, поворот направо, велосипедист инстинктивно смещает центр тяжести своего тела вправо, как бы заваливая велосипед. Возникшее принудительное вращение велосипеда с угловой скоростью О. приводит к появлению гироскопических сил с моментом M'. На заднем колесе этот момент будет погашен в подшипниках, жестко связанных с рамой. Переднее же колесо, имеющее по отношению к раме свободу вращения в рулевой колонке, под действием гироскопического момента начнет поворачиваться как раз в том направлении, которое было необходимо для правого поворота велосипеда. Опытные велосипедисты совершают подобные повороты, что называется, "без рук".
Вопрос о возникновении гироскопических сил можно
рассматривать и с другой точки зрения. Можно считать, что гироскоп, изображенный на рис. 4.10, участвует в двух одновременных движениях: относительном вращении вокруг собственной оси с угловой скоростью ю и переносном, вынужденном повороте вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ?2. Таким образом, элементарные массы Am;, на которые можно разбить диск гироскопа (маленькие кружки на рис. 4.16), должны испытывать кориолисовы ускорения
Рис. 4.15 66
Механика
совы силы инерции
F = 2Am.v. X Q. (4.21)
^ 1 кор 1 1 OTH х '
Эти силы создают момент M', Рис 4 16 который стремится повернуть ось
гироскопа таким образом, чтобы вектор W совместился с W. Момент M' должен быть уравновешен моментом сил реакции F-^F' (рис. 4.10), действующих на ось гироскопа со стороны
подшипников. По третьему закону Ньютона, ось будет действовать на подшипники, а через них и на раму, в которой эта ось закреплена, с гироскопическими силами ФтФ'. Поэтому и говорят, что гироскопические силы обусловлены силами Кориолиса.
Возникновение кориолисовых сил можно легко продемонстрировать, если вместо жесткого диска гироскопа взять гибкий резиновый диск (рис. 4.17). При повороте вала с раскрученным диском вокруг вертикальной оси он изгибается в направлении действия корио-Puc 4 17 лисовых сил так, как изображено на рис. 4.17.
і кор і OTH г '
Эти ускорения будут максимальны для масс, находящихся в данный момент времени на вертикальном диаметре диска, и равны нулю для масс, которые находятся на горизонтальном диаметре (рис. 4.16).
В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Q. (в этой системе отсчета ось гироскопа неподвижна), на массы
Ami будут действовать кориоли-
Волчки.
Волчки кардинально отличаются от гироскопов тем, что в общем случае они не имеют ни одной неподвижной точки. Произвольное движение волчков имеет весьма сложный характер: будучи раскручены вокруг оси симметрии и поставлены на плоскость, они прецессируют, "бегают" по плоскости, выписывая замысловатые фигуры, а иногда даже переворачиваются с одного конца на другой. Не вдаваясь в детали такого необычного поведения волчков, отметим лишь, что немаловажную роль здесь играет сила трения, возникающая в точке соприкосновения волчка и плоскости.
Кратко остановимся на вопросе об устойчивости вращения симметричного волчка произвольной формы. Опыт показывает, что если симметричный волчок привести во вращение вокруг оси симметрии и установить на плоскость в вертикальном положении, то это вращение в зависимости от Лекция 1
67
формы волчка и угловой скорости вращения будет либо устойчивым, либо неустойчивым.
Пусть имеется симметричный волчок, изображенный на рис. 4.18. Введем следующие обозначения: О — центр масс волчка, h — расстояние от центра масс до точки опоры; К — центр кривизны волчка в точке опоры, г — радиус
кривизны; Jz- момент инерции относительно оси симметрии, Jx — момент инерции относительно главной центральной оси, перпендикулярной оси симметрии.
Анализ устойчивости вращения волчка приводит к диаграмме, изображенной на рис. 4.19 [8]. Здесь по оси
С 3Jz
о _ ___ I п
\ к / 4
h к / Jx
. 1 г
/////////// ///////////
Рис. 4.18
абсцисс отложено отношение
а по оси ординат — отношение
Проведем
1
гиперболу
и прямую — = 1. Эти г Jz/Jx г
линии делят область положитель-
h J2
h/r
ных значении
на 4 части.
Область I соответствует неустойчивому вращению волчка при всех угловых скоростях, область II — устойчивому вращению при достаточно больших угловых скоростях ю > ю . Область III соответствует ус-
кр
тойчивому вращению при малых угловых скоростях ю < о) , область IV —
Kp
устойчивому вращению при произвольных ю. Критическая угловая скорость ю зависит от моментов инер-
Kp
ции Jz, Jx, расстояний г, h и веса тела P = mg [8]:
ю™ =
<Х\ 1 Неуст. .2 (п) Устойч. при со > сокр
Устойч.прі I IV Устойч. ІОКСОкр -—-
О
Jz/Jx
1
( к* 1
О* J к / 1 •
Рис. 4.19
(h - г) • P
'кр
Jx(r/h)(Jz/Jx-r/h)
(4.22)
Рассмотрим, например, китайский волчок, раскрученный до ю > юкр и поставленный на плоскость вертикально, как показано на рис. 4.20а. Пусть
Jz =Jx. Поскольку h < г, то этой ситуации соответствует точка 1 в области III
