Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Примем линзу бесконечно тонкой: = 0, й,= й2.
В соответствии с нормировкой первого вспомогательного луча для линзы с первой плоской поверхностью а, = а2 = 0, й, = й2=/'=1, сх3=1; для нее л, = л3=1, л» = л. Так как сферическая аберрация третьего порядка А5^7 = -\0,5т2/f')S“ , то для определения ее изменения достаточно рассмотреть S{°. Вначале рассмотрим плоско-выпуклую линзу со второй сферической поверхностью. Для нее , = 0, а Р2 с учетом нормировки первого вспомогательного луча определяется уравнением Р2 = а33/(1 - 1/л)2 = п2/(п - I)2.
В результате имеем S{° =й, (Р, + Р2) = Р2 = л2/(л - I)2.
Для плоскопараболоидной линзы со второй асферической поверхностью остается такая же нормировка первого вспомогательного луча: а, = 0, й, а3= 1 и S~„= Р2 + В2. Результат получим такой же, как для одной параболоидной поверхности при л, = л, л2= 1 (задача 14.1, случай 1), т. е. 51о=(л+ 1 )/(л — 1). Для определения изменения сферической аберрации третьего порядка составим отношение
At'm“ ^ ^ ^ »2(л-1) = л2
(л-1)2(л + 1) л2 1 *
Подставив л = 1,5183, получим As'^ /Дs'^a = 1,766, т. е. во столько раз уменьшилась сферическая аберрация при замене сферической поверхности на параболоидную.
Теперь рассмотрим бесконечно тонкую выпуклоплоскую линзу с первой сферической поверхностью, для которой так же, как и ранее, а, = 0, а3 = 1, й, =/'= 1. Тогда S{" = Р1 + Р2. Для определения Р, и Р2 надо найти угол а2. Для второй — плоской — поверхности запишем уравнение параксиального луча: л2а2=л3а3, откуда а2 = = 1/л. Найдем Р, и Р2
поэтому
1 , 1 п*-2п1+2
¦s.“ = ^2= 7.—;2-т + 1--т =
1 2 (1 -nfn2 пг п{п-1)2 '
Для линзы с первой параболоидной и второй плоской поверхностью
п3-2пг +2
где
S\a — Р\+ Вх+ Рг- - у + 5,, п\п-\)
В -Ь\(пагУ - И1/”)!3- 1
(*-l)2 (n-lf ~ (л-1)2’
1, тогда
с~ _пЪ-2пг+2 1 _ (и2 - l)(n - 2)
п (п -1)2 (и -1)2 п (п -1)2
Заметим, что 5,“о<0, когда п < 2.
Определим, во сколько раз уменьшается сферическая аберрация третьего порядка в выпуклоплоской линзе (линзе благоприятной формы) при замене сферической поверхности на параболоидную:
Д*ш _ _ я3 — 2я2 + 2
5Г« («2 -l)(« - 2)'
Подставив п = 1,5183, получаем A^,7= -1,415. Следовательно, при п <2 параболоидноплоская положительная линза вносит отрицательную сферическую аберрацию и тем самым при ее использовании в системе она может компенсировать положительную сферическую аберрацию.
Плоскопараболоидная линза используется в конденсорах, где не требуется полного исправления сферической аберрации. При этом принимается во внимание, что параболоидную поверхность легче изготовить, чем поверхности другой формы.
Задача 18.3. Рассчитать однолинзовый конденсор в виде плоско-выпуклой линзы с асферической поверхностью, если источник света установлен в передней фокальной плоскости линзы (рис. 18.2, а). Форму поверхности найти из условия исправления сферической аберрации третьего порядка. Размер тела накала источника света
Рис. 18.2. Однолинзовый конденсор с асферической поверхностью а — в прямом ходе лучей; б — в обратном ходе лучей
axb = 2,8x2,9 лш,/'= 50 мм, D/f'= 1:2, линза выполнена из стекла К8 (ие= 1,5183). Найти максимальный диаметр линзы, ограниченный формой асферической поверхности.
Решение. Из конденсора выходит параллельный пучок лучей, поэтому он рассчитывается в обратном ходе лучей (рис. 18.2, б). К параллельному пучку лучей линза обращена выпуклой поверхностью и даже в случае сферической поверхности сферическая аберрация третьего порядка практически минимальна.
Найдем вершинный радиус кривизны г0], который определяется так же, как и для обычной плосковыпуклой линзы: r0]=f'(n-
- 1) = 50 0,5183 = 25,9150.
Определим эксцентриситет поверхности и ее форму, положив =-{0,5m2/f)s~ = 0, поэтому S{° = 0. Примем линзу бесконечно тонкой (d = 0, h] = h2) (рис. 18.2, в), а по нормировке первого вспомогательного луча а, = 0, а3= 1, А,=//= 1. В задаче 18.2 показано, что в выпуклоплоской линзе а2 = 1 /и и Р, + Р2 = (л3 - 2п2 + + 2)/[п(п - I)2].
Найдем коэффициент деформации первой поверхности из условия
S? = hx (Р, +В1+Р2 )= Р, + Д, + Р2 = + Д, = О,
пуп-\У
где
bt {a2n-aj _ b, [(1/и)и]3 Ь,
(n-lf ~ (n-lf ~(n-lf’
544
тогда
я3 - 2пг + 2 _ г>,
п(п-1)2 (n-lf’
откуда Ь] = -(л3 - 2пг + 2)!п.
Подставив в уравнение для коэффициента деформации Ь, зна-чение пе= 1,5183, получаем Ьх = -0,585 8976, тогда = Л/— =
= 0,765 4394. Следовательно получили поверхность второго порядка — эллипсоид, так как е, < 0. Уравнение его профиля у 2 = 2r0z, --(l-e,2)z, или у2 = 51,83 zx - 0,414 1025 z,2.
Определим световой и полный диаметры линзы: Da= D = 25 мм, ?>пол= 25 + 1,8 = 26,8; ?>полпонр= 28. Для вычисления стрелки прогиба поверхности надо решить уравнение профиля, подставив у, = = Д,ол/2, и определить z,. В результате получим j^,2 =51,83 z, — -0,414 1025 z,2 = 142 или 0,414 1025 z,2-51,83 z, + 196 = 0, z, = 3,90.
Толщина линзы d = к, + dmia=zl + dmi„= 3,90 + 1,8 = 5,7.
В результате получили
марка пс стекла
г01 = 25,915 rf=5? Kg 15183
гг= оо
у,2= 51,83 z,-0,414 1025 г,2
Определим угловое поле конденсора. Для этого вначале найдем величину диагонали тела накала источника
