Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. В двухзеркальной системе Грегори анаберрационным является каждое зеркало. Поэтому для определения эксцентриситетов зеркал можно использовать условие исправления сферической аберрации третьего порядка, поскольку для рассматриваемых поверхностей сферическая аберрация в целом исправлена за счет исправления аберрации третьего, пятого и более высоких порядков. Поэтому коэффициент деформации каждой поверхности определим из условия 5,= 0. При расчете учтем, что л, = л3 = 1, л2 = -1.
Вначале выведем формулы для определения эксцентриситетов зеркал. Для первого (главного) зеркала Sl=hl (Рх+Вх), и ?,= 0, если Р. = -Л,.
Запишем уравнения для Р, и Ви используя общие формулы (гл. 8) и учитывая, что а, = 0, л2 = -л, = -1:
/ \ 2 / \
а2 -а, [ «2 --а,
1/л2-1 V ' z У 1 л2 V ^ У
а,
-1-1
2 Г,3
4
Вх =
_ Ь\ (сх2д2У _ i>\ ( Q-it _ а2
(n2-n}f 4 4
поэтому
а2 Ъ\ «2 и 1 ПГ 1
4=-^р» 6, =-1 и е, =Л/-6, =1.
Аналогично для второго зеркала запишем Sx = h2(P2 + В2) и при St = 0 имеем Р2 = -В2. Составим уравнения для Р2 и В2:
Рг =
/ N а3 -а2 2 / \ а3 а2
Упз~Упг , л3 и.
_| «з
¦а,
1-1
= -^-а2)(а3-а2);
В2 =
_ Ь2 (а3»3 - а2»2 У _ Ь2 (а3 + а2 У
(П3 ~nlf
(а3+а2)=
В соответствии с нормировкой первого вспомогательного луча
а, = 0, й,=/'=-1, а3= 1, поэтому Р2= (1/4) (1 - а22) (1 - а2), В2 = - (Ь2/4)(1 + а2)3. Определим Ь2: (1/4) (1 - а22) (1 - а2) = -(62/4)(1 + а2)3, откуда
548
Для вычисления b2 надо найти угол аг.
Примем а] = 0, Л, =/'=-180 и рассчитаем ход первого параксиального луча через систему зеркал, используя формулы (гл. 2) exv'+ cty= 2hjrv, hv+l = hv- d^'. В результате получено при а, = 0: Oj= 3,942 86, а3 = 1. Вычислим Ь2: Ьг= -(1 - 3,942 86)2/(1 + 3,942 86)2= = -0,354 4722, е2 = = 0,595 376.
Запишем уравнения профилей зеркал: для,первого зеркала _у,2 = = -182,6086 z„ для второго зеркала у\ =2 r0 z2-(l-e2)z2 =55,3526 z2 --0,645 528 z\.
Аберрационный анализ рассчитанной системы показал, что для всех высот т сферическая аберрация As'= 0, а меридиональная кома К = 0,10 мм для ш= 1,5°. Для системы типа Грегори со сферическими зеркалами для т = 30 мм As' = -25,9 мм, Ау = 8,7 мм\ для т = 15 мм Ау = 9,97 мм. Для ¦ получения кружка рассеяния 2Ау = = 0,1лш надо снизить относительное отверстие до 1:16. Меридиональная кома К =0,21 мм для Dlf'= 1:3 и ?0=1,5°, при Ауг'= 8,5 мм, Дуи'= -9,1 лш, в то время как для анаберрационной системы Ау,'= 0,027 мм, Дун'= 0,176 лш.
Задача 18.7. Вывести общие формулы для определения коэффициентов деформации Ь{ и Ь2 зеркал в двухзеркальной системе, апланатичной в области аберраций третьего порядков.
Решение. Выведем формулы для 6, и Ь2, которые можно использовать для расчета двухзеркальных систем любых конструкций. Для этого запишем уравнения для коэффициентов аберраций 5, и и приравняем их нулю.
S\ (.РI + ^i) + ^2 (Р2 В2) ~~ 0;
5..=7. (Л + В,)+у2 (Р2 + Вг)-1^ + W2) = 0:
(18.1)
(18.2)
где
Рх = -0,25 (а2 - а, f (а2 + а,); Р, = 0,25 (а3 - а2 f (а3 + а2);
(18.3)
в\ =-(*i/4)(a2 + a,)3; В2 =(b2/4)(a3 +aj;
Из (18.1) имеем:
B2=-{i/h2)(hipl+h2p1 + hA)-
(18.4)
549
Подставив (18.4) в (18.2), имеем
У\ 0*1 + в\)+ Угрг ~ iyi/h2 )(hip\ + Крг + Кв\ )~
-iQvx + w2)=o.
После преобразований получаем
Я,
f М -уА ' - р
а2 \ 2 ) 11 а2 \ У
-l(fVl+W2)= 0. (18.5)
Для инварианта Лагранжа — Гельмгольца имеем при л, — 1 / = и^,а, = (s^-s,) Pia„ где Э, =_y,/j/,= 1 во всех случаях, и при s = -°° и S|^-°o, поэтому / = {sP-j,) a, = s^a,-А,.
Преобразуем разность y\h2-y2hx, где А2 = А,-da2, у2 = У\- d$2, причем P2 = ~P, + 2>',/r1 = -l + [)>i(tx, + с^)]//»,, так как г, = 2А,/(а, + с^), и тогда Уг^Ух + d- (yxd/hx) (a, + a2).
В результате \
у,А2- у2А, = yt (А, - daj -А, [у, + d - (y^d/hx) (a, + a2)] =
= d (ухО-х - И,) = d (SpCLx - A,). (18.6)
Из (18.5) выразим 5, и подставим туда (18.6) и уравнение для
I, а затем W, + W2 и Р, из (18.3):
Д ^ , Ih2{Wl+W2)_ р {sPal-hx)(Wl+W2)h2_
УА-УгЫ 1 d (sP a, - А,)
I/" \2 / \ M«ra
= — (a,-a.) (a2 + a,)+ 2 v 3---—.
4 v 2 2</
Но Л, = -(61/4) (a2+a,)3, поэтому из (18.7) имеем
f . ~ V
-fc,=
a2 +a
| 2A2 (a2 - af) d (a2 + a,f
Из (18.7):
P,+B, =[a2 (a2 -a2)]/2^/. Подставим (18.9) в (18.4):
=„A№+S|)„Pi=.4kbBi).
(18.7)
(18.8)
(18.9)
В,
2с/
Учтя (18.3), получаем
550
откуда
-b2 =
а} - а2 а3 +а2
\2
2h\{a]-a]) d (а.г+а.2У
(18.10)
Задача 18.8. Используя данные задачи 18.6, рассчитать двухзеркальную систему Грегори, апланатическую в области аберраций третьего порядка. Выполнить аберрационный анализ и сравнить значения сферической аберрации и меридиональной комы в апла-натической системе и анаберрационной, рассчитанной в задаче 18.6.
Решение. Конструктивные параметры системы г01, г02 и d, а также углы «Ху первого вспомогательного луча известны из задачи 18.6. Определим коэффициенты Ьх и Ь2 деформации зеркал апланатичес-кой системы по формулам (18.8) и (18.10), полученным из условий
5,= 0 и 5„=0 в задаче 18.7. Учтем, что а, = 0, а2=3,942 86, а3= 1, А, = -1.
Предварительно упростим формулы (18.8) и (18.10), учитывая нормировку:
da
з ’
