Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что соображения, которые привели нас к этому выражению, являются более общими, чем приведенный выше вывод, исходным пунктом которого было выражение (1.3.1) для обменной энергии, справедливое, строго говоря, при S = 1/2. Действительно, мы нигде не пользовались тем, что спин атома равен s = V2 и использовали только основное свойство обменного взаимодействия, а именно, его инвариантность относительно вращений момента М. Поэтому можно считать, что полученное нами выражение для We является
24 общим и справедливым независимо от того, какое значение имеет спин отдельного атома ферромагнетика.
Симметричный тензор aik, входящий в выражение для обменной энергии, определяется в модели Гайзенберга формулой (1.4.3), в которую входит обменный интеграл между соседними атомами. В более общем случае он может, как уже указывалось выше, зависеть от квадрата намагничения (и температуры), но всегда по порядку величины равен
a^-Wtfa5' ^1-4-6)
где Уа — величина обменного интеграла между соседними атомами; этот интеграл определяет по порядку величины также температуру Кюри Tc (в энергетических единицах); поэтому
где
В одноосных кристаллах тензор aik имеет две независимые компоненты, и поэтому We имеет вид
1 I / дМ \2 , / дМ \2) 1 (дМ\1 .
щ,' = -2а>{(-5г) +(—) (+2 О-4"7)
(с сь г совпадает с осью кристалла). В кубических кристаллах aik = abik.
§ 2. Магнитное дипольное взаимодействие
1. Энергия дипольного взаимодействия. Обменное взаимодействие является наибольшим, но не единственным взаимодействием между атомами ферромагнетика. Наряду с ним имеет место магнитное взаимодействие между магнитными моментами атомов и взаимодействие между магнитными моментами и электрическим полем кристаллической решетки. Оба эти взаимодействия являются релятивистскими, и поэтому соответствующие им энергии значительно меньше обменной
энергии We, составляя по порядку величины We, где
V — величина порядка скорости электронов в атоме.
Однако, несмотря на то, что релятивистские взаимодействия значительно слабее обменного взаимодействия, они играют существенную роль. Эта роль двоякая.
25 Во-первых, благодаря релятивистским взаимодействиям в кристалле возникает избранное направление намагничения, которому соответствует минимальное значение энергии ферромагнетика. На этом основании говорят, что релятивистские взаимодействия приводят к появлению энергии анизотропии, т. е. к зависимости энергии ферромагнетика от направления намагничения M (обменная энергия, как видно из (1.4.4), не зависит от направления вектора Ж).
Во-вторых, благодаря релятивистским взаимодействиям устанавливается статистическое равновесие в системе спинов ферромагнетика. Если бы этих взаимодействий не было, а также не было взаимодействия спинов с колебаниями решетки, то статистическое равновесие в решетке не могло бы установиться.
Перейдем к рассмотрению релятивистских взаимодействий. Начнем с магнитного дипольного взаимодействия.
Магнитное дипольное взаимодействие описывается гамильтонианом
я?« = ¦2^ S ^r- {(vj rI -3 («АлОMl-)}. (2-1 •
где S1 — спин атома в 1-м узле и Rlm— радиус-вектор, соединяющий узлы I к т.
Гамильтониану J^m соответствует макроскопическая энергия магнитного дипольного взаимодействия
1 {фт 0hiImoliIm liIm
2ц —
где M (R1) = —S1 (черта над S1 служит для обозначения
усреднения) И v0 — объем элементарной ячейки.
Чтобы придать этому выражению обычный феноменологический вид, нужно перейти в нем от суммирования по отдельным узлам решетки к интегрированию по объему ферромагнетика. Однако, так как при формальном переходе от суммирования к интегрированию возникает неопределенность при Rim-* 0, то поэтому следует предварительно выделить область малых Rlm. Для этого мы разобьем Wm на два
26 слагаемых,
Wm = w'm+wl (Rij>e)
Wm = - ± S <*,) Ж, (*,) • J-, (2.1.2)
где р—достаточно малая макроскопическая длина; если Z—длина, на которой существенно меняется плотность магнитного момента, то величину р мы выберем таким образом, чтобы выполнялись неравенства
aCpCL-
Так как M(R1) медленно меняется на расстояниях порядка а, то первое слагаемое можно представить в виде двойного интеграла по объему ферромагнетика V:
Wm = -4 \dr [ dr'Ml(T)MkIr')-^rr (2.1.3)
Во втором же слагаемом можно вынести величину Mk (Rj) за знак суммы, заменив Mk(Rj) на Mk(Rl). Вводя далее обозначение *)
R- V d2 1
p^0 t ЩЕ^ТГГ
(ІФЧ Rlj < р)
г/
представим Wm в виде
W"m = - і ?<4 J сітM^ (r) Mk (г). (2.1.4)
V
Покажем, что
2
V
\ (2-1.5)
*) Так как р^>а, то величина ?,^ не зависит от р.
27 где — статическое магнитное поле, создаваемое намагничением М. Это поле удовлетворяет уравнениям магнитостатики
rot tf<m> = О,
div (Н{т) -f- 4лМ) = О (2л,6)
и условиям непрерывности на границе ферромагнетика тангенциальных составляющих вектора магнитного поля //(т) и нормальной составляющей вектора индукции =H^-\-AnM
(Я(+т))т = (tf(_m))T, (Я(Г»Х + 4л Mv = (tf(_m))v, (2.1.7)
где индексы плюс и минус служат для обозначения полей внутри и вне ферромагнетика, а индексы т и v обозначают тангенциальные и нормальные составляющие векторов на поверхности ферромагнетика 5.
