Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если предполагать, что кристалл формируется аналогично молекуле водорода, т. е. из отдельных атомов, каждый из которых содержит по одному электрону в основном состоянии, то, используя указанный микроскопический гамильтониан, можно приближенно найти энергетические уровни кристалла.
Однако для исследования более общих случаев микроскопический гамильтониан является слишком сложным, чтобы им можно было непосредственно пользоваться. Поэтому естественно попытаться перейти от микроскопического гамильтониана к гамильтониану, имеющему более простую математическую структуру и приводящему в главных чертах к такому же энергетическому спектру, как и исходный гамильтониан. Этот переход можно произвести аналогично рассмотренному
18 выше переходу от микроскопического гамильтониана двух атомов водорода, содержащего два лапласиана и электростатические потенциальные энергии различных пар частиц, к обменному гамильтониану, имеющему значительно более простую математическую структуру, чем исходный гамильтониан. При этом, как мы видели, если речь идет об энергетических состояниях, возникающих из основных состояний двух атомов и отличающихся только значением суммарного спина 5, то исходный гамильтониан эквивалентен обменному гамильтониану.
Наше главное предположение заключается в том, что мы получим правильную физическую картину энергетического спектра ферромагнетика вблизи его основного состояния, если заменим микроскопический гамильтониан ферромагнетика суммой обменных гамильтонианов различных пар его атомов *).
Будем для простоты предполагать сперва, что все атомы
ферромагнетика имеют спин s = . Тогда обменный гамильтониан ферромагнетика, которым мы заменяем исходный, микроскопический гамильтониан, будет иметь вид суммы гамильтонианов (1.2.1)
-T Sy^s'5- (1-ЗЛ)
где S1 и Sm— спины атомов, находящихся в 1-й и т-м узлах решетки и J(Rinl)-некоторая функция от радиус-вектора Rlm, соединяющего 1-й и т-й узлы (суммирование производится по всем парам атомов кристалла). Эта функция, носящая название обменного интеграла /-го и т-го атомов, очень быстро, экспоненциально, убывает с увеличением расстояния между атомами, так как она определяется степенью перекрытия волновых функций атомов. Поэтому практически величина J(Rim) отлична от нуля только в том случае, если /-Й и т-й атомы являются соседними; при этом
J(Rlm) ^ I^,
где а — постоянная решетки и Н,— численный параметр порядка 0,1, определяемый степенью перекрытия волновых функций соседних атомов.
*) Вывод выражения для эквивалентного гамильтониана в рамках гомеополярной модели кристалла принадлежит Боголюбову и Тябликову [6].
2*
19 В гамильтониане (1.3.1) расстояния между атомами считаются заданными, а динамическими переменными являются только операторы спинов атомов, которые действуют (а вместе с ними и оператор 3?^ на волновую функцию системы, представляющую собой функцию только от спиновых переменных, но не от пространственных координат частиц.
Для ферромагнетика обменный интеграл положителен,
J(Rm) > О,
благодаря чему в основном состоянии спины всех атомов имеют одну и ту же ориентацию (эта ориентация, однако, никак не выделена, если учитывать только обменное взаимодействие, см. ниже).
Как мы убедимся далее, обменный гамильтониан ферромагнетика (1.3.1) приводит не только к правильному заключению о том, что спины, а следовательно, и магнитные моменты атомов ферромагнетика, являющиеся в основном спиновыми, имеют в состоянии с наименьшей энергией одинаковую ориентацию, но правильно описывает также ту часть энергетического спектра ферромагнетика, которая находится вблизи основного состояния. Поэтому использование обменного гамильтониана приводит к разумным физическим результатам в области достаточно низких температур (т. е. температур, малых по сравнению с температурой Кюри), когда возбуждены главным образом энергетические состояния, близкие к основному состоянию. Мы будем далее предполагать, что выражение (1.3.1) для гамильтониана обменного взаимодействия справедливо не только в случае S= 1/2, но и при произвольном спине атомов.
Важным свойством обменного гамильтониана (1.3.1), который обычно называется гайзенберговским гамильтонианом (говорят также о модели ферромагнетика Гайзенберга, понимая под этим ферромагнетик, который описывается гамильтонианом (1.3.1)), является то, что он коммутирует с каждой из проекций суммарного спина ферромагнетика
S = ^iSl.
і
Действительно, используя известные перестановочные соотношения для операторов проекций спина атома
20
[s/cr sm?] — 'eOjJYsly^lm
(1.3.2; (a, ?, Y—координатные индексы), легко убедиться, что (5, -I-Jm) SlSm = SlSm (S1 -f Sm)
и поэтому
SVeS = SeSV-
Отсюда следует, что если учитывать только обменное взаимодействие, то квадрат полного спина системы и его проекция на какую-либо ось будут квантовомеханическими интегралами движения, т. е. обменное взаимодействие само по себе не может изменить этих величин. Это обстоятельство является совершенно понятным, если вспомнить, что с микроскопической точки зрения обменное взаимодействие — это чисто электростатическое взаимодействие с учетом симметрии волновой функции системы.
