Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Обменное взаимодействие, лежащее, как показывает рассмотренный пример, в основе гомеополярной химической связи *), объясняет также природу ферро- и антиферромагнетизма. 1
В отличие от молекулы водорода, для которой обменная энергия отрицательна (В (г) < 0), благодаря чему состояние с суммарным спином 5 = 0 оказывается обладающим меньшей энергией, чем состояние со спином 5=1, в ферромагнетиках состоянию с большим спином соответствует меньшая энергия, так что в основном состоянии ферромагнетика спины всех атомов имеют параллельную ориентацию**).
Для того чтобы математически описать обменное взаимодействие, введем в рассмотрение оператор
Рис. 1.
где S
SV = -JiOS1S2-+E (г), операторы спинов электронов и J(r),E(r)-
некоторые функции от /", которые мы подберем таким образом, чтобы собственные значения оператора (действующего в пространстве спиновых переменных) совпадали со значениями энергии Ен{г) и Ен(г).
*) Квантово-механическое объяснение химической связи было дано Гейтлером и Лондоном [1].
**) Это объяснение природы ферромагнетизма принадлежит Гай-зенбергу [2], Френкелю [3] и Дорфману [4].
15 Так как
^2 = 4(*!+?)2--^? + *? = ^5+1)-!'
то собственные значения оператора S1S2 равны: —~ при
5-0 и I при 5=1. Поэтому собственные значения gfo будут совпадать с величинами Ец(г) и E^ (г), если положить У (г) = (г)- (г),
= + (г).
Величина E (г) определяет, очевидно, среднее значение энергии атомов (параллельной ориентации спинов электронов соответствует статистический вес 3/4, а антипараллельной ориентации— статистический вес 1/4), а У (г)— обменную энергию. Отвлекаясь от этой средней энергии, мы будем в дальнейшем рассматривать только первое слагаемое в выражении для Hfi, зависящее от спинов электронов. Его называют гамильтонианом обменного взаимодействия электронов и обозначают через S1Pe*)
36, = — J (г) S1S2. (1.2.1)
Мы получили выражение для гамильтониана обменного взаимодействия, рассматривая конкретно молекулу водорода. Но к нему можно прийти и из более общих соображений, а именно исходя из требования инвариантности гамильтониана взаимодействия частиц относительно пространственных вращений.
Действительно, поставим вопрос о нахождении наиболее общего выражения для гамильтониана взаимодействия двух одинаковых частиц, предполагая, что он зависит только от координат и спинов частиц. Так как из операторов спинов частиц S1 и S2 и радиус-вектора г, определяющего их относительное положение, можно построить только три независимых инварианта относительно преобразований пространственных вращений:
Г2, S1S2, (Sjr) (s2r),
*) В таком виде гамильтониан обменного взаимодействия был впервые получен Дираком [5J.
16 то искомый гамильтониан е%? может быть произвольной функцией этих инвариантов. Взамен (S1/-) (s2r) удобнее ввести инвариант
S12 = 3 (S1ZI) (S2ZI) — S1S2, где Zi = ~ , и записать поэтому Щ в виде &6 = /(/¦> $12). где / — произвольная функция трех независимых переменных.
Если спин каждой из частиц равен S = у, то это выражение может быть значительно упрощено, благодаря следующему свойству спина '¦ любая целая положительная степень
матриц S1S2 и S12, а также произведение таких степеней выражаются в виде линейной комбинации самих этих матриц и единичной матрицы. Это свойство является следствием извест-
1
ного соотношения для компонент спина S=^y
sksl — 2" zUlmsIn ^kf
Используя это соотношение, легко проверить, например, что (S1S2)2 = -jg- 2" ^1?-
2 -A-I J- _J_ 512 8^2 l5A 2 5)2
s12 (SjS2) = (S1S2) S12 = S12.
Отсюда следует, что, разложив функцию / в ряд по степеням ее аргументов, можно привести гамильтониан Ш к виду
= U1 (т) 4- U2 (г) S1S2 Ч- U3(r) S12, (1.2.2)
где U1(T), U2(T) и U3(r)—некоторые функции от расстояния между частицами. Подчеркнем еще раз, что эта формула
справедлива только в случае частиц, имеющих спин
С первыми двумя слагаемыми в выражении для Ж мы уже познакомились выше, при рассмотрении молекулы водорода. Что касается третьего слагаемого, то в случае двух электронов оно представляет собой энергию их магнитного взаимодействия, т. е. энергию взаимодействия магнитных моментов
2 А. И. Ахиезер 17 электронов, —sj и —S2 (т—масса электрона, h — кван-
содержит по сравнению с Ux(r) -f- (J2^)S1S2 добавочный
множитель — !точнее говоря, множитель , где V — вели-
чина порядка скорости электрона в атом В случае моле-
кулы водорода мы не учитывали этой энергии, имеющей релятивистское происхождение, так как v<^c.
3. Обменный гамильтониан ферромагнетика. Перейдем теперь к установлению вида гамильтониана ферромагнетика. Главный вопрос, который нас интересует, заключается в выяснении характера энергетического спектра ферромагнетика вблизи основного состояния, которому, как показывает опыт, и как должна объяснить теория, соответствует параллельная ориентация магнитных моментов отдельных атомов ферромагнетика. Сперва мы не будем учитывать сравнительно слабых релятивистских взаимодействий. Поэтому исходный— микроскопический гамильтониан ферромагнетика будет содержать в качестве потенциальной энергии лишь энергию кулоновского взаимодействия электронов и ядер и, кроме того, кинетическую энергию частиц, т. е. сумму операторов Лапласа для каждой из частиц. Волновые функции этого гамильтониана должны обладать определенными свойствами симметрии, благодаря чему, как было разъяснено выше, устанавливается корреляция между значениями общего спина системы и значениями ее энергии.
