Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Оператор энергии кубического ангармонизма в молекулярных
кристаллах
В кулоновской калибровке векторного потенциала полный
гамильтониан кристалла имеет вид (1,2) гл. III. Поскольку
оператор Н2 определяется выражением, квадратичным относительно
амплитуд поля, вклад в оператор энгармонизма может внести
только оператор экситонной подсистемы, а также оператор
взаимодействия экситонов и поперечных фотонов. При неучете
колебаний решетки первый из указанных выше операторов
определяется вырэжением (1,13) гл. II. Рэнее, в гл. II, при
рзссмотрении этого оперзтора принимэлись во внимзние лишь
слагземые, квздрэтичные относительно бозе-эмпли- туд Вп, и Bnj.
Кубические по Вп, и ВХг слагаемые в гамильтониане можно
выделить, если в операторе [см. (1,13) гл. II]
~2 Ьnj'Ьnlg'bmgbnf (f g I Vnm I f§)
11' gg'mn
*) В выражении для оператора Hul опущены кубические по | +
слагаемые вида Щ и |+§+?+. Эти слагаемые дают по сравнению с
(1,3) лишь малые поправки к величине вероятности нелинейных
процессов третьего порядка.
**) О нелинейной поляризуемости примесных кристаллов см. в
работе [35].
12 В. М. Агранович
178
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
[ГЛ. V
сохранить слагаемые, пропорциональные таким матричным
элементам {f'g' | У пт I/S'}' в которых только один из индексов
/', g', /, g равен нулю (т. е. отвечает основному состоянию
молекулы). Искомую часть оператора энгармонизма (речь идет,
очевидно, об энгармонизме в кулоновской подсистеме, т. е.
подсистеме экситонов без учета зэпзздывэния) обозначим через !
1. После перехода в /?{и к бозе- операторам (см. § 2 гл. II)
находим
= Т Е ^' ВтЗВ>Ч </0 I Vпт | fg) +
/ /' gmn
-j- Bnf BmgBnj (j g | Vn.n | /О) BmjBmj ' Вfig (О/1 Vnm ) gf )
-j- BngBmfBmf (0/ j Vnm [ g/У\-
Матричные элементы (0/1 V пт | gf') в этом выражении
предполагаем вещественными.
Поскольку, в соответствии с (1,12) гл. II, матричные
элементы {f'g' I Vпт I/S'}- кроме того, инвариантны
относительно одновременной замены f'^tg' и f<^-g, а также
поскольку Уnm = Vтп, оператор Н\и можно представить в более
компактном виде:
?!"= S' (f'Q\Vn,n\jg){Bn/'BnfBmg + B+nfBnrB+mg). (2,1)
if gmn
Перейдем теперь к выделению той части оператора кубического
энгармонизма, который обусловлен экситон-фотонным
взаимодействием. В соответствии с тем, что оператор энергии
этого взаимодействия содержит два слагаемых [см. (1,4) гл.
III] искомый оператор кубического энгармонизма, связанный с
рассматриваемым экситон-фотонным взаимодействием, также можно
представить в виде суммы двух
слагаемых. Эти слагземые будем обозначать соответственно через
Н2П
" "И!
И L13 .
Рассмотрим сначала оператор Й1п. С этой целью вернемся к
оператору (1,8) гл. Ill, который определяет экситон-фотонное
взаимодействие, линейное относительно оперзтора векторного
нотенцизлэ. В гл. III при рассмотрении этого оператора
использовалось для П(к) в представлении вторичного квантования
выражение (6,5) гл. II, в котором не были учтены квадратичные
по бозе-амплитудам слагаемые. Для учета знгэрмонизма выражение
для П(к) следует уточнить. Используя (1,9) гл. III и (1,11)
гл. II, находим
П(к)= S eikn (g\<l(k)\f)b+ Ьп/, п, /. g р
(2,2)
ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ КУБИЧЕСКОГО АНГАРМОНИЗМА
179
где
VY
Фл (к) = 2и
(Я)
gy j'fn) / mv J v '
+ /кр7 V
1 ь V, и/
(2,3)
Если g Ф 0 и /фО, то, в соответствии с (2,6) и (2,9) гл. II,
Ьngb а/ ЬngbnG&п0&nf =r= В ngB nf.
Таким образом, квадратичные по бозе-амплитудам В и В+ слагаемые
в операторе (2,2) возникают, если в (2,2) сохранить матричные
элементы с g, f Ф 0. Следовательно, для оператора /?'П получаем
следующее выражение:
нш-- У
2 -' Zi
к, /, п
f^O.g^O
2nh
~Vkc
-f эрм. сопр.]. (2,4)
Вид оператора Н3 также легко может быть установлен, если
выражение для векторного потенциала [см. (1,7) гл. III]
подставить во второе слагаемое в формуле для оператора
экситон-фотонного взаимодействия (1,4) гл. III. Если при этом
использовать обозначение
t(k) = 2e''kn(S
mv ^v, п
оператор Нз может быть представлен в следующем виде:
ffl'
яй
~V~
kj, к'/
(^кА'/О
уш
(к -к'Жк -к')Х
X К';я-ку- + < j akj) -+ ЭРМ- С0ПР- (2.5)
В представлении вторичного квантования для оператора if (к)
в соответствии с формулой (1,11) гл. II имеем
г|5(к):
S
'V I - р
mv v'п
f)K,Kr
(2,6)
Поскольку, однако, нас сейчас интересует оператор кубического
энгармонизма, в сумме (2,6) достаточно учесть лишь слагаемые,
линейные относительно бозе-операторов Bng, Bnf и т. д. В этом
приближении
n,f
¦<ю=2*""(о /)(",,+в;;).
(2,7)
12*
180 НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ [ГЛ. V
Подставляя теперь (2,7) в (2,5), окончательно находим
й'"='т S
п, kJ, к/
Л
х(° (2-^ о(tm)] /)("./--".r+<w"j(s./+sa+
-f эрм. сопр. (2,8)
В дальнейшем при рассмотрении оператора кубического
энгармонизма ,НШ будем опускать, как и ранее в формуле (1,3),
такие слагаемые, которые содержат только операторы уничтожения
или только операторы рождения поляритонов.
