Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
29
что расстояния между молекулами, принадлежащими одной элемен-
тарной ячейке, малы по сравнению с постоянной решетки
кристалла, а ориентации этих молекул, кроме того, таковы, что
взаимодействие между молекулами внутри элементарной ячейки
велико по сравнению с взаимодействием, которое имеет место
между молекулами, находящимися в различных элементарных
ячейках. В этом случае ширина экситонных зон, которая как раз
обусловлена взаимодействием молекул, расположенных в разных
элементарных ячейках, может оказаться значительно меньшей
величины давыдовского расщепления.
Во Введении уже подчеркивалось, что наличие интенсивных про-
цессов рассеяния экситонов на фононах или иных дефектах
идеальной кристаллической структуры делает волновой вектор
экситона "плохим" квантовым числом. Поэтому ясно, что даже при
невысоких температурах кристалла возможны, вообще говоря,
такие ситуации, когда при наличии заметного давыдовского
расщепления экситон является фактически "локализованным"
внутри элементарной ячейки и его движение носит характер
скачков, а не соответствует движению волнового пакета,
охватывающего много постоянных решетки.
В рамках рассматриваемого приближения, когда при расчете
энергии экситона принимается во внимание все кулоновское
взаимодействие между молекулами, энергия экситона ? (к) при
малых к оказывается, вообще говоря, неаналитической функцией к
даже для невырожденной экситонной зоны. Эта особенность
кулоновских экситонов обусловлена тем, что при вычислении
величин Е^(к) учитывается вклад в энергию взаимодействия между
молекулами длинноволнового электрического поля, которое,
вообще говоря, возникает в кристалле при распространении в нем
экситона.
Проиллюстрируем эту неаналитическую зависимость сначала на
примере экситона в кристалле с одной молекулой в элементарной
ячейке в окрестности невырожденного молекулярного терма /. В
этом случае энергия экситона в приближении Гайтлера - Лондона
определяется соотношением (1,12).
Допустим, что в изолированной молекуле отличен от нуля мат-
ричный элемент ее оператора дипольного момента, отвечающий
переходу из основного состояния в состояние /, т. е. что
<0|Рпа1-0 -Poi^0- <2-7)
Тогда, если в операторе Vna, тр ограничиться учетом только
диполь- дипольного взаимодействия, т. е. считать, что этот
оператор определяется соотношением (1,3), для матричного
элемента (1,15) получаем
f | РоГ (21 ш I2 - 3(р0/т)2
•Мот- п-,5 • , (2,8)
30
ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА
[ГЛ. I
Следовательно, величину L(к) можно представить в виде
? (к) = - р0/8о°. (2,9)
где
8/0--ГwK'-Sw^b а10)
ш
Из вида (2,10) ясно, что 8/0 есть электрическое поле в точке
т=0, создаваемое диполями, расположенными в узлах решетки
т=?0, причем величина диполей от узла к узлу изменяется по
закону
p(n) = p°Vkn. (2,11)
Полное поле (2,10) можно представить, как это впервые показал
Эвальд [15], в виде суммы двух частей, одна из которых при ма-
лых к имеет смысл ДЛИННОРОЛНОВОГО (макроскопического) поля, кото-
рое бы существовало в среде, еслк в ней диполи были не
точечными, сосредоточенными в узлах решетки, а распределенными
непрерывно по закону
D0/
Р(г) = eikT, (2,12)
где Л - объем элементарной ячейки; Р(г) в этом случае уже
имеет смысл поляризации единицы объема. Второе слагаемое в
полном поле обычно называют внутренним полем.
Длинноволновое поле легко может быть найдено, если учесть,
что в среде без посторонних зарядов продольная компонента век-
тора индукции D равна нулю, а электрическое макроскопическое
поле является продольным, если запаздывающее взаимодействие,
как это имеет место в теории кулоновских экситонов, не
учитывается. Из этих соображений следует, что
D|| =Е;| +4лР|! =Е+4лк-*У2- = 0,
откуда, используя (2,12), находим
Е (г) = - 4л k(fek2Pj- = - -1- k (kP-) eikT. (2,13)
Характерная особенность выражения (2,13) состоит в том, что
оно является неаналитической функцией к и при к->0 зависит от
s = = кjk. Внутренняя же часть полного поля (2,10) не зависит
от s при к->0. Поэтому выделение длинноволнового поля
одновременно является выделением неаналитической по к части
полного поля 8°Л Представим теперь величину (2,10) в виде
суммы:
^°-?/(0) + 2Q/T(k)^, (2,14)
КУЛОНОВСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭКСИТОНЫ
31
где второе слагаемое отвечает внутреннему полю. Подставляя
(2,14) в (2,9) и используя (1,12), находим, что
где 0 - угол между векторами к и р°Л Последнее слагаемое в
(2,15), определяемое длинноволновым полем, есть
неаналитическая функция к.
В кристаллах, содержащих несколько молекул в элементарной
ячейке, величина (1,19) аналогично может быть представлена в
виде
где р - электрическое поле в точке г = гпа> создаваемое точеч-
ными диполями, расположенными в узлах решетки сорта р, причем
величина диполей от узла к узлу изменяется по закону
структурой решетки (их конкретное выражение, которое нам здесь
не потребуется, определяется формулой (30.31) в книге Борна и
