Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
общем случае, если только под Оь0 понимать точечную группу, в
которую превращается указанная выше совокупность "поворотных"
элементов, если в ней не делать различия между существенными
винтовыми осями и плоскостями скольжения и несущественными (т.
е. если у "поворотных" элементов не принимать во внимание
сопутствующие поворотам и отражениям трансляции на
нецелочисленные векторы решетки).
Проиллюстрируем сказанное на примере кристаллов типа
кристалла нафталина. Кристалл нафталина имеет пространственную
группу Cf/i- Точечная группа C2h (см. табл. 1) имеет только
одномерные представления. Поскольку любая подгруппа группы С2Н
также может иметь только одномерные представления, ясно, что в
кристаллах типа кристалла нафталина "принудительное"
вырождение экситонных состояний внутри зоны Бриллюэна
невозможно.
В качестве второго примера рассмотрим кристаллы типа
кристалла кварца. Кристалл кварца имеет пространственную
группу /)3. Точечная группа D3 имеет среди своих неприводимых
представлений представление, размерность которого равна двум.
Поэтому, если волновой вектор к0 направлен вдоль оси третьего
порядка, когда точечная группа Ока совпадает с точечной группой
?>3, возможно, вообще говоря, двукратное вырождение экситонных
термов.
§3]
МЕТОД ТЕОРИИ ГРУПП И АНАЛИЗ ПРАВИЛ ОТБОРА
43
Для исследования возможности принудительного вырождения на
поверхности зоны Бриллюэна необходимо рассмотрение нагруженных
представлений группы 8ко, которые сводятся к обычным, что и
было использовано выше, если волновой вектор к0 лежит внутри
зоны Бриллюэна или если группа волнового вектора не содержит
существенных винтовых осей или плоскостей скольжения. Свойства
нагруженных- представлений, а также метод их нахождения
описаны, например, в монографии Любарского [19]. Там же
показано, что каждому неприводимому представлению группы
волнового вектора соответствует неприводимое нагруженное
представление той же размерности группы Gko.
Как уже указывалось выше, существует еще одна причина, при-
водящая в некоторых случаях к вырождению экситонных уровней и
непосредственно вытекающая из структуры уравнения Шредингера.
Действительно, в силу самосопряженности оператора Гамильтона
волновым функциям (/ = 1, 2, . . ., р), где звездочка
означает знак
комплексного сопряжения, так же как и функциям 4rkoli;(Z=l, 2,
отвечает значение энергии ?ц(ко). Однако функции Ч^/ преобра-
зуются по неприводимому представлению подгруппы трансляций,
которому отвечает волновой вектор - к0. Поэтому, если векторы
к0 и - к0 эквивалентны, то Е (к0) = Е^ (- к0) и в точке к0 будет
иметь место соприкосновение не р экситонных зон, а 2р, если
только линейная оболочка функций Ч^ц/ (ко, ц фиксированы, / =
1, 2, ..., р)
не совпадает с линейной оболочкой функций Ч^^. Совпадение этих
линейных оболочек не осуществляется, если неприводимое
представление (к0, (х) группы волнового вектора к0, порождаемое
функциями Ч^ц/, / = 1, 2 р, не является вещественным*).
Мы не будем здесь приводить соотношений, позволяющих
ответить на вопрос о вещественности представления (к0> ц),
поскольку эти соотношения подробно обсуждаются как в работе
Херринга [21], так и в специальных обзорах по теории групп
(см., например, [19], § 30, а также [22]). Отметим лишь один
из результатов, полученных Херрингом, в соответствии с которым
энергетические зоны для квазичастиц при неучете их спина **)
должны попарно соприкасаться для волновых векторов,
оканчивающихся на поверхности зоны Бриллюэна, перпендикулярной
винтовой оси второго порядка обратной решетки (если таковая
имеется).
*) Представление называется вещественным, если в отвечающем
ему линейном пространстве функций можно так выбрать базис,
чтобы матрицы всех операторов в этом представлении были
вещественными.
**) Для триплетных экситонов этот вопрос обсуждался в работе
Стерн- лихта и Мак-Коннела [24].
44
ЗКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА [ГЛ. I
Применительно, например, к кристаллу нафталина, в простран-
ственной группе которого имеется винтовая ось второго порядка,
этот результат означает, что вырождение экситонных зон имеет
место в пространстве волновых векторов вдоль плоскостей,
ограничивающих зону Бриллюэна, перпендикулярных винтовой оси
симметрии обратной решетки кристалла нафталина.
Хотя для экситонов существующие экспериментальные методы
пока не позволяют проверить этот вывод теории, он важен,
поскольку позволяет оценить нижний предел для возможной суммы
ширин экситонных зон давыдовского расщепления в нафталине *).
Действительно, наличие смыкания зон позволяет сделать вывод о
том, что сумма ширин указанных зон не меньше, чем величина
давыдовского расщепления термов при к = 0, которая может быть
измерена экспериментально по спектрам поглощения и которая в
нафталине равна примерно 150 смл(см., например, [23]).
Знание ширин экситонных зон важно при анализе межмолекуляр-
