Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
определяющую при к = 0 волновую функцию кулоновского экситона
с к=0 в экситонной зоне рь, находим, что
р.;о"= тг (То | Р" I чу = 2 "л (0) р" (3,2)
Для механических экситонов формула для Ро; оц также имеет
вид (3,2) и только величины и^(0) переходят в ai{P, найденные
при неучете длинноволнового поля. Поскольку оператор Р°
преобразуется как полярный вектор, а волновая функция гК0
инвариантна относительно всех операций симметрии кристалла,
матричный элемент (3,2) отличен от нуля только для таких
экситонных состояний, волновые функции которых преобразуются
так же, как компоненты полярного вектора. Так, если функция
преобразуется, например, как х-ком- понента полярного вектора,
вектор Ро; оц будет направлен вдоль оси х. Таким образом,
изучение свойств симметрии волновых функций экситонов
позволяет определить поляризацию света, который может вызвать
образование того или иного экситона. Так, в рассматриваемом
выше случае поглощаться может только свет, поляризованный
вдоль оси х, причем здесь мы, естественно, говорили только о
дипольном поглощении света. Однако аналогично может быть
рассмотрено и квадрупольное поглощение света в экситонной
области спектра (по этому поводу более подробно см. § 8 книги
[12]).
Как уже укгзывалось, энергии механических экситонов при к =
0 не зависят от направления к. Это обстоятельство существенно
упрощает теоретико-групповую классификацию состояний
механических экситонов и ниже будет использовано.
Впервые метод теории групп для качественного анализа картины
спектров экситонного поглощения света в молекулярных
кристаллах был использован в работах Давыдова [9-11]. Давыдову
удалось для целого ряда кристаллов дать правильное
качественное описание различий в спектре поглощения света,
которые возникают при агрегации молекул в кристаллы. Наиболее
полный обзор этих исследований Давыдова можно найти в книгах
[9, 10]. В этих работах для волновых функций сначала
определялись коэффициенты и^(0), а затем с их помощью
определялись свойства симметрии соответствующего экситонного
состояния.
Уинстон [18] предложил иной путь качественного исследования
экситонных состояний с к=0, не требующий предварительного вы-
числения коэффициентов иац(0).
В методе Уинстона используются три группы: группа симметрии
молекулы, местная группа и фактор-группа кристалла. Группа
симметрии молекулы содержит все операции симметрии, которые
переводят
МЕТОД ТЕОРИИ ГРУПП И АНАЛИЗ ПРАВИЛ ОТБОРА
37
молекулу саму в себя. Местная же группа содержит ллшь те из
элементов симметрии молекулы, которые оставляют инвариантной
не только молекулу, но и кристалл. Ясно, что местная группа
является подгруппой группы симметрии молекулы. Обе эти группы
являются точечными.
Для того чтобы пояснить определение фактор-группы, напомним,
что каждая пространственная группа содержит подгруппу
параллельных переносов. Полная пространственная группа
получается из этой подгруппы добавлением к ней Н элементов
("поворотных" элементов), содержащих повороты или отражения,
причем Н равно числу элементов группы соответствующего
кристаллического класса. Всякий элемент пространственной
группы можно рассматривать как произведение одного из
элементов трансляционной группы на один из "поворотных"
элементов. Если пространственная группа не содержит
существенных винтовых осей и плоскостей, скольжения, то
совокупность "поворотных" элементов образует точечную группу,
а именно группу соответствующего кристаллического класса.
Пусть Тт - элемент группы трансляций, a ht- -один из
поворотных элементов. Совокупность элементов вида h{Tm (где m-
^целочисленный вектор решетки, при фиксированном I пробегающий
все возможные значения), обозначаемая ниже через Нt, называется
смежным с ht классом по Т. Перебирая все поворотные элементы,
можно построить столько классов, сколько элементов симметрии
имеется в точечной группе кристаллического класса. Нетрудно
показать, что любой элемент пространственной группы всегда
содержится только в одном из классов и что эти классы сами,
если их рассматривать как новые объекты, а произведение
смежных классов рассматривать как смежный класс с элементами,
полученными в результате перемножения элементов двух смежных
классов, образуют группу. Эта группа как раз и называется
фактор-группой пространственной группы кристалла. Можно
показать, что она изоморфна точечной группе кристаллического
класса (см., например, Приложение II в [12]).
В соответствии с методом Уинстона построим волновые функции
??(к) = лг'А2Укг,юх?а. (3,3)
п
Эти функции осуществляют неприводимые представления подгруппы
трансляций, поскольку
k) = e-ihmWfa(k). (3,4)
Отсюда следует, что функции W/(k), а=1, 2 а,
с к=0 при
действии на них трансляций остаются неизменными. Поэтому
любой
из элементов смежного класса Н;, действуя на функцию 4^(0),
приводит ее к одному и тому же результату:
hiT(0) = hiW{ (0) = 2 "аЛ (3.5)
