Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
использовать формулу (3,10), которая позволит определить
симметрию экситонных состояний, соответствующих любому из
найденных неприводимых представлений местной группы.
В заключение отметим, что волновые функции кулоновских экси-
тонов (|а, к) даже при к = 0, вообще говоря, не преобразуются
в соответствии с каким-либо неприводимым представлением
факторгруппы. Это обстоятельство связано с тем, что под
влиянием элементов фактор-группы происходит также изменение
направления волнового вектора экситона, характеризующего его
волновую функцию. Однако энергия кулоновского экситона (ц, к)
даже при к = 0 зависит, вообще говоря, от направления s=kjk.
Поэтому волновая функция с другим направлением вектора s
отвечает, вообще говоря, другому
МЕТОД ТЕОРИИ ГРУПП И АНАЛИЗ ПРАВИЛ ОТБОРА
41
значению энергии кулоновского экситона. Иная картина имеет
место для механических экситонов, для которых энергия при к->0
не зависит от направления s. Поэтому при классификации
состояний механических экситонов направление s = k/ft при ft-
>0 несущественно, и эта классификация оказывается совершенно
аналогичной классификации возбужденных состояний атомов и
молекул.
Что же касается кулоновских экситонов, то их волновые
функции оказывается возможным классифицировать по неприводимым
представлениям не фактор-группы кристалла, а группы симметрии
волнового вектора, т. е. подгруппы пространственной группы
кристалла, содержащей лишь те элементы симметрии, которые
оставляют этот вектор неизменным (или переводят в ему
эквивалентный, т. е. отличающийся на целочисленный вектор
обратной решетки).
Хотя в работе Уинстона это обстоятельство и не
подчеркивалось, ясно, что его формула (3,10) фактически
справедлива именно для механических экситонов. Правильные
линейные комбинации функций 'Ра(О) преобразуются по
неприводимым представлениям фактор-группы кристалла, поэтому
нахождение соответствующих коэффициентов, определяющих эти
правильные линейные комбинации, как это было отмечено
Уинстоном [18], может быть осуществлено с помощью методов
теории групп *), поскольку оно фактически сводится к разло-
жению приводимого представления, построенного на функциях
'Fa(O), а=1, 2, ..., а, на неприводимые (по этому поводу см.
[19], § 26). Однако соответствующие коэффициенты uatl(0), в
силу сказанного выше,- -это коэффициенты, определяющие при к-
>0 независимо от направления S волновые функции не
кулоновских, а механических экситонов. Коэффициенты яац(0),
найденные указанным выше образом, равны коэффициентам яа|г(0),
определяющим волновые функции кулоновских экситонов, лишь при
частном выборе направления к- а именно в том случае, когда
группа волнового вектора к при к->0 совпадает с группой
кристаллического класса.
Использование теории групп позволяет выяснить также важный
вопрос о вырождении экситонных состояний. Это вырождение может
быть обусловлено инвариантностью гамильтониана кристалла
относительно элементов его пространственной группы (в этом
случае его иногда называют "принудительным"; см. [19], § 40)
либо же, как это было показано Херрингом [21], может быть
следствием инвариантности кристалла относительно операции
обращения времени. 1
Рассмотрим сначала вопрос о возможности возникновения "при-
нудительного" вырождения. С этой целью допустим, что
экситонный терм ?ц(к) при к = к0 является вырожденным, т. е.
ему отвечают р
*) В этой связи см. также работу [20].
42
ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА
[ГЛ. I
состояний экситона с волновым вектором ко, а именно где
/ == 1, 2 р - индекс, определяющий номер соприкасающейся
зоны. Можно показать (см. [19], § 30), что совокупность
функций ^кодг инвариантна относительно элементов группы
волнового вектора Gky Следовательно, эти функции преобразуются
по одному из ее неприводимых представлений, размерность
которого равна р. Поэтому, если группа имеет только одномерные
представления, то в силу сказанного нет оснований ожидать, что
при k = k0 будет иметь место вырождение зон. Наоборот, если
группа Gk0 не имеет одномерных представлений, то при k = k0
обязательно будет иметь место вырождение, т. е. каждая
экситонная зона при k = k0 будет соприкасаться с одной или
несколькими соседними эксптонными зонами
Если группа волнового вектора Gko не содержит существенных
винтовых осей и плоскостей скольжения, то совокупность
"поворотных" элементов, определяющих группу волнового вектора,
образует точечную группу Око, являющуюся подгруппой
кристаллического класса. В этом случае каждому неприводимому
представлению группы волнового вектора соответствует
неприводимое представление группы Gka той же размерности, так
что для анализа вопроса о "принудительном" вырождении в этом
случае достаточно рассмотреть неприводимые представления
группы Оу0. Можно показать (см. [19], § 30), что такое
соответствие имеет место всегда для волновых векторов к0,
лежащих внутри зоны Бриллюэна. Для этих к0 оно имеет место и в
