Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Хуана Куня [16]; там же подробно изложен метод Эвальда выделе-
ния макрополя). Эти коэффициенты при к -> 0 стремятся к
пределу, не зависящему от направления s=k\k. Из формул (2,16)
и (2,17) следует, что величина Z,a|3(k), а следовательно, и
собственные значения матрицы [см. (1,19)] являются, вообще
говоря, неанали
тическими функциями к.
Если, однако, в выражении для La^ (к) опустить слагаемые,
соответствующие первому слагаемому в (2,17), т. е. если в
матрице взаимодействия опустить взаимодействие, обусловленное
длинноволновым полем, то матрица /-^(к) переходит в другую
матрицу, обозначаемую ниже через Za|?(k), которая уже
оказывается аналитической функцией к. Соответствующие матрице
Za|3 (к) элементарные возбуждения, которые, как и в [12], будем
называть механическими
Ef (k) = &ef + 2 Q]r (к) р°/р°/, +¦ --- cos2 0, (2,15)
и'
(2,16)
И в этом случае поле Soa, р можно представить в виде суммы
- неаналитическая функция к.
Коэффициенты
при заданном к определяются только
32
ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА
[ГЛ. I
экситонами, обладают значениями энергии ?ц(к), которые, в
отличие от энергий кулоновских экситонов, уже являются
аналитическими функциями к. Это обстоятельство, как будет
показано ниже, делает теоретико-групповую классификацию
механических экситонов более простой, чем соответствующая
классификация кулоновских экситонов.
Это, однако, не единственная причина, которая оправдывает их
введение. Так, следует также отметить, что механические
экситоны могут быть использованы в качестве состояний нулевого
приближения для вычисления тензора диэлектрической
проницаемости кристалла (по этому поводу см. §§1,2 гл. IV, а
также монографии [12, 16] ). Кроме того, как это будет
показано ниже, знание состояний механических экситонов и
тензора диэлектрической проницаемости кристалла позволяет
определить также и значения энергий кулоновских экситонов.
Здесь не будут излагаться вычисления тензора диэлектрической
проницаемости кристалла с использованием состояний
механических экситонов, поскольку соответствующие расчеты
подробно проведены в гл. IV книги [12]. Мы лишь воспользуемся
результатами этих вычислений.
В соответствии с формулой (12,146), взятой из этой книги,
тензор диэлектрической проницаемости кристалла, обусловленный
наличием экситонных состояний, при неучете пространственной
дисперсии имеет следующий вид:
Е (ш) _ 6 _8я V <*(0) р^0 (0) (0) (219)
I] ^ / tj Ah jLJ
В этом выражении (0^(0) =?^(0)//?, где ? (0) - энергия
механического экситона при к = 0, Ро; ом- -матричный элемент
оператора дипольного момента элементарной ячейки кристалла,
построенный на волновых функциях основного состояния кристалла
и состояния кристалла, отвечающего наличию в нем механического
экситона сорта при к = 0, Д - объем элементарной ячейки
кристалла.
Если общее выражение (2,19) применить к кристаллу, содержа-
щему одну молекулу в элементарной ячейке, причем в молекуле
принять во внимание лишь одно возбужденное состояние /, то для
такой упрощенной модели
ги (со) = 6(7 - , (2j20)
J 1 Ah a - (Oj (0)
где частота (r)/(0) = ?/(0)/й определяется соотношением (2,15), в
котором последнее слагаемое опущено, а вектор Ро;о/> очевидно,
определяется соотношением
Ро;о/ = р0/. (2,21)
КУЛОНОВСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЭКСИТОНЫ
33
Частоты кулоновских экситонов могут быть найдены с помощью
тензора диэлектрической проницаемости (см. § 4 гл. III, а
также 112], § 2). Именно, если в кристалле для данного
направления к нет механических экситонов р, у которых вектор
Ро; оц был бы перпендикулярен направлению к, то частоты
кулоновских экситонов для этого к могут быть найдены из
уравнения *)
Используя это соотношение для простейшей модели кристалла,
которой отвечает формула (2,20), находим для энергии
кулоновского экситона Е - ha, следующее значение:
где 0 - угол, образованный векторами р°f и s. Извлекая корень
квадратный из обеих частей этого равенства и считая малым по
сравнению с единицей отношение
получаем для энергии кулоновского экситона ранее полученное
выражение (2,15).
В действительности реальные молекулы всегда обладают рядом
возбужденных состояний. Их наличие приводит к тому, что даже
ближайшие молекулы не взаимодействуют друг с другом так же,
как в пустоте. Взаимодействие же более далеких молекул
ослабляется из-за поляризации среды, которая, впрочем, может
быть обусловлена не только вкладом связанных электронов, но и
свободных зарядов. Этот эффект ослабления взаимодействия между
молекулами зависит, очевидно, от расстояния между ними, что
создает определенную трудность при его учете.
Аналогичная ситуация, как известно, возникает и в теории
экситонов Ванье - Мотта (см., например, [17], § 4), где
взаимодействие между электроном и дыркой на больших
расстояниях имеет вид
- е2/ге, а на малых ~ - e2jr (ради простоты здесь
рассматривается изотропная модель среды).
Если, однако, считать известными частоты механических
