Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
р
38
ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА [ГЛ. I
Рассматривая (3,5) как определение действия на функцию Ч^ (0)
элемента фактор-группы, приходим к выводу, что функции 4^(0),
а=1, 2, ..., а, осуществляют представление фактор-группы кри-
сталла. Это означает, что экситонные состояния с к-0, волновые
функции которых являются правильными линейными комбинациями
функций Ч^ (0), могут быть классифицированы по неприводимым
представлениям фактор-группы кристалла или изоморфной с ней
группы кристаллического класса.
Будем сначала считать, что функции <р? учитывают симметрию
местного поля. Тогда волновые функции х"а осуществляют,
очевидно, неприводимые представления а-й местной группы. Будем
в связи с этим полагать, что индекс / определяет это
неприводимое представление. Пусть ч/ (R) обозначает характер
матрицы, соответствующий элементу R местной группы в /-м
неприводимом представлении, а 4 г (Я) - характер матрицы,
соответствующий элементу факторгруппы R в его l-м неприводимом
представлении. Характер приводимого представления фактор-
группы, построенного на функциях ЧГа (0), соответствующий
элементу R, равен
ХФ- г. (/?) = 2 &а (Я) Xl г (Я). (3,6)
а
где
f 1, если R принадлежит местной группе а,
^а(^) | о, если ^ не принадлежит местной группе а.
Для того чтобы определить, сколько неприводимых представлений
номера / фактор-группы содержится в упомянутом приводимом
представлении, достаточно найти число
"/ = 7/2 4. г. (Я)*кф-г- (Я) '= i 2 6а ч. г. (R) х'. г. (Я).
(3.7)
R R, а
где Н - порядок фактор-группы. Так как местная группа является
подгруппой фактор-группы, неприводимое /-е представление
факторгруппы может оказаться приводимым относительно местной.
Поэтому каждому i-му представлению фактор-группы можно
сопоставить совокупность чисел ац, так что
(3,8)
/1
если R принадлежит местной группе. Подставляя (3,8) в (3,7),
находим
ni=Ti 2 KWaij&tSK)*LrS*)' (З-9)
R, а, /|
МЕТОД ТЕОРИИ ГРУПП И АНАЛИЗ ПРАВИЛ ОТБОРА
39
В соответствии с нормировкой характеров
Wi(Я)х?г. (R) = nb
где я - порядок местной группы. Поскольку, с другой стороны, Н
= па, находим
Я/:
(3,10)
Соотношение (3,10), установленное Уинстоном, позволяет
определить симметрию экситонных состояний, которые возникают в
кристалле, если в нем одна из молекул находится в возбужденном
состоянии, соответствующем /-му неприводимому представлению
местной группы.
Рассмотрим в качестве примера кристаллы типа нафталина. Фак-
тор-группа Clh, местная группа CL. Их характеры приведены в
таблицах, помешенных ниже.
Таблица 1
Характеры неприводимых представлений группы С2Л
Непри
во-
Компо
нен-
Операции
симметрии
1
предс
тав-
ление
поляр
ного
вехто
ра
Е
с2
i
сг
1
2
3
4
Л
А
Аа
Bg
<
гь rv
гс
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
- 1
1
-1
1
-1
- 1
1
Таблица 2
Характеры неприводимых представлений группы Cl
С/
Е
1
Ag
1
1
Ли
1
- 1
Рассмотрим, что происходит в кристалле, например, с
состоянием / = Лц'г'. Согласно формуле (3,10)
0
,
есл
и
1
=
Ag,
0
,
есл
и
1
=
Bg;
1
,
есл
и
1
=
ли-,
1
,
есл
и
1
=
Ви.
Таким образом, состоянию, соответствующему неприводимому пред-
ставлению Аи местной группы, соответствуют два экситонных со-
стояния с симметрией Аи и Ва. Согласно таблице 1 переходы в эти
состояния разрешены. Переход в состояние А$' г' поляризован
вдоль оси b кристалла, а переход в состояние В*'г' - в
плоскости векторов
40
ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАИТЛЕРА - ЛОНДОНА [ГЛ.!
а и с. Молекула нафталина в изолированном состоянии обладает
симметрией группы D2h, которая содержит группу Ct в качестве
своей подгруппы. Сопоставляя таблицу характеров группы D2h
(табл. 3)
Таблица 3 Характеры неприводимых представлений группы /)2/г
Е
с-
2
2
Сс
2
ой
а*
1
1
1
1
1
1
1
1
в lg
1
-
1
-
1
1
1
- 1
1
1
A2g
1
1
-
1
-
1
1
1
1
1
B2g
1
¦-
1
1
-
1
1
-1
1
1
Ан
1
1
1
1
-
1
- 1
- 1
1
B\u
1
-
1
-
1
1
-
1
1
1
1
Аги
1
1
-
1
-1
-
1
- 1
1
1
В2и
1
-
1
1
-
1
-
1
1
1
1
с таблицей характеров группы С;, приходим к выводу, что по не-
приводимому представлению местной группы Аи преобразуются вол-
новые функции изолированной молекулы, относящиеся к неприводи-
мым представлениям А1а, В1а, А2а, В2а группы D2h. Таким образом, в
кристалле в окрестности частот, отвечающих переходам в эти мо-
лекулярные состояния, возникают давыдовские дублеты экситонных
состояний, переходы в которые разрешены в дипольном
приближении.
Аналогично могут быть рассмотрены кристаллы другой
симметрии. В частности, если изолированная молекула обладает
вырожденными уровнями (как, например, молекула бензола), то
сначала следует выяснить, по каким неприводимым представлениям
местной группы преобразуются волновые функции этого
вырожденного молекулярного терма (может случиться, что в
местной группе это вырождение снимается), а затем уже
