- .
( ):
м
2 [(«jA || Fa(0) ||я3А,) (п3Х || Fb (0) || п2Х) -а+-+] =
П3=1
= ifabc{nMFM \\п2Х),
м
2 [(я,Я,|| Fa (0) II п3Х) (п3Х II Ft (0) | п2Х) - а ^ 5} =
Пз-1
= ‘UMI^(°)IM> (6-8)
м
2 [(П\Х II Fl (0) II п3х) (п3Х II Fb (0)|| п2Х) — а b] —
П3=1
= ifabc
(щХ || Fe (0) II п2Х).
Другими словами, для каждого фиксированного X М X М-матрицы (tiX IIF (0) || п'Х) являются представлением алгебры S£/3® SU3. Поэтому для данного X проблема нахождения последовательной схемы насыщения сводится к проблеме нахождения представлений алгебры SU3® SU3. В зависимости от числа состояний М представление может быть либо неприводимым, либо приводимым. Если представление неприводимо, то матричные элементы (пХ || F (0) || п'Х) будут однозначно определяться соотношениями (6.8). Если же оно приводимо, то будет несколько свободных параметров (углы смешивания).
364
Глава б
Однако рассматриваемая проблема связана не только лишь с теорией групп: следует также удовлетворить некоторым кинематическим ограничениям. Чтобы убедиться в этом, мы вернемся к определению матричного элемента (пХ || F (0) || п'Х)
(пХ || F (0) || п'Х) = lim <гаЛР|5°(0)|га'ЯР). (6.9)
| Р \->оо
Если состояния пип' имеют одинаковую массу, матричный элемент (гаА,Р 15°(0) Iп'ХР) можно переписать с помощью преобразования Лоренца вдоль направления импульса Р в следующем виде:
{пХР15° (0) I п'ХР) = (-др^рг)V5 (т^Г Х
X (пХО | [g° (0) + р • 8- (0)] | п'Х0), (6.10)
М = Мп = МП',
где Р = Р/(Р2 + М2)’/а — скорость, входящая в преобразование Лоренца, которое приводит состояние | «АР) в состояние покоя. Соотношения (6.9) и (6.10) дают (пХ || F (0) || п'Х) = (пХ0 | g° (0) + е • $ (0) | п'Х0), '
М,-МЛ <6-п>
где е — единичный вектор вдоль направления, по которому Р стремится к бесконечности. Спиральность X теперь равна компоненте спина вдоль вектора е. Если — векторный ток, то в силу сохранения четности вклад в выражение (6.11) может давать только член с §° (предполагаем, что спины и четности состояний п и п' одинаковы), и мы находим, что (пХ || F (0) || п'Х) не зависит от X. С другой стороны, если ^-аксиально-векторный ток, то вклад дает только член с е • $ и (пХ || F5 (0) || п'Х) должно быть пропорционально X. В результате мы имеем
(пХ 1 П F (0) 11 п%) _ . (nlt 11 F'° (0) 11 п'Хi) _ %i /•« 1 о\ (лА>2 II F (0) || п'Х2) ’ (яЯ2 II F5 (0) II п’Х2)
Мп —
Для неравных масс Мп ф Мп> два состояния в определении (6.9) не могут быть приведены в состояние по-
Алгебраическая структура правил сумм
365
коя общим преобразованием Лоренца. В этом случае кинематические ограничения, за исключением сравнительно тривиальных, вытекающих из сохранения четности,
(пХ || F (0) || п'Х) = {п — X || F (0) || п' - X),
(пХ || F5 (0) ||п'Х) = -{n-X\\F5 (0) ||п' - X), (6‘13)
отсутствуют.
Непротиворечивая схема насыщения должна удовлетворять как алгебраическим соотношениям (6.8), так и кинематическим ограничениям (6.12) и (6.13).
Единственная конкретная схема насыщения, изученная во всех подробностях, включает обычный октет барионов со спином х/2 и декуплет резонансов со спином ^г1)- Существует единственное решение соотношений (6.8), (6.12) и (6.13) с индексом п, пробегающим эти состояния. При этом получается несколько предсказаний для сравнения с экспериментом:
