- .
( ):
361
свойство выражения (6.3), упомянутое выше. Если перейти к пределу [ Р |-> оо с Р ■ k = Р • к' = 0, то матричный элемент
(NlXlP + k\%°(0)\N2X2P + k')
в пределе зависит только от разности к — к' и не зависит от суммы к + к'. Доказательство. Для больших I Р | и для к, перпендикулярных Р, вектор Р + к отличается от Р только бесконечно малым вращением, т. е.
ехр(— *P*jVJ) I МР> = \NXP +k) + 0(|P Г2),
где J — оператор углового момента. Поэтому (N,Я,Р + к 13° (0) | N2X2Р + к'> =
= W1P|exp(,T>|^1^)g°(0)X X exp (- /Р | ЛГ2Я2Р> + О (| Р Г2) =
= WlP|exp[-pX,(kp-k^J]x
xV(0)\n2x2p) + o(\p\-2),
где мы использовали то обстоятельство, что g°(0) — скаляр относительно вращений и что ' — гР X k'- J\
Р|2
( /Р X к • J \ (■
ехР\ jTp 'Jехр 1"
—ехр[|Рх |р7зк'>J]н~оfIргг)~
В пределе бесконечного импульса мы можем переписать выражение (6.3) следующим образом:
S[(w-
°° + 2 ч!
S°(0)|W->oo-|qycX
X оо +1 q± | go (0) | N2X2Р оо - -±- q Д -
а
Ч±
ч!
= $аьс (N Лр 00 + i (ч± + я!)
x
Х 3° (0) I N2X2P OO -1 (qx + , (6.4)
362
Глава 6
где мы опустили парные члены, которые исчезают в этом пределе, и заменили q и q' на qx и чтобы подчеркнуть, что эти импульсы перпендикулярны Р.
Итар, если мы определим
Ит^ (NXP + ± q± | (0) | N'X'P - ± q±) ^
(Ч±) I *'*')• (6.5)
то правило сумм (6.3) можно будет записать в виде
2 [(лг AI f„(qj IВД IIП (ч!) I лга) -
а b
~q±^q'±
-'и(Л'Л,К«(я1 + ч1)||Л'Л> ' <М
Следует подчеркнуть разницу между соотношениями (6.6) и (6.2). В соотношении (6.2) F — операторы в гильбертовом пространстве, действие которых приводит, например, к образованию пар из вакуума, причем матричные элементы этих операторов, как в (6.3), сложным образом зависят от импульсов. Величины (^VA||/’(qx)|^V/A/) в соотношении (6.6) являются просто матрицами, строки и столбцы которых характеризуются спиральностью и внутренними квантовыми числами состояний. Элементы этих матриц являются формфакторами переходов (ток) + (NX)-* {N'X'), где „масса“ тока равна — q^.
Конечно, соотношение (6.6) полностью эквивалентно правилам сумм при бесконечном импульсе, порученным в гл. 4 и 5; преимущество соотношения (6.6) в том, что оно делает явным алгебраические свойства правил сумм. Нужно иметь в виду, что индексы N в (6.6) пробегают все адронные состояния, включая и непрерывный спектр. Идея „насыщения" правил сумм алгебры токов состоит в нахождении приближенного решения соотношения (6.6), выраженного через матрицы (nA,||.F(q±)||n'A/), где индексы пип' пробегают некоторый ограниченный набор одночастичных и резонансных состояний.
Алгебраическая структура правил сумм
363
§ 3. Алгебра SU3 ® SU3
В простейших схемах насыщения используются только правила сумм с q± = = 0 в соотношении (6.6).
В этом случае соответствующие матрицы (NX || Z7 (0) || N'X'), как можно видеть из их определения (6.5), диагональны по спиральным индексам, т. е.
(N11| F (0) || N'X') = 6U' (NX || F (0) || N'X). (6.7)
Посмотрим, как будет выглядеть непротиворечивая схема насыщения. Предположим, что мы имеем решение, насыщающее правила сумм при qx = q^=0, в котором общий индекс N заменяется индексом п = = 1, 2, ..., М, пробегающим М связанных и резонансных состояний. Тогда правила сумм будут иметь вид
