- .
( ):
ls(?0 + /) = [ld(?°+/)]v, (Г. 6)
— О ^
где L не зависит от q + q , a D является вращением вокруг направления импульса р. Отсюда следует, что матрицы, преобразующие индексы спиральностей, можно также представить в виде произведений
R[f>' (<7° + Л = (?° + ч'°) 1¥/.
(Г. 7)
где R по-прежнему не зависит от q° + q', a RD~ преобразования, соответствующие вращению на некоторый угол ф вокруг направления р, который должен быть одним и тем же для состояний i и /. Но мы знаем, как преобразуются спиральные состояния при вращениях вокруг направления их. движения: они просто приобретают дополнительные фазы; поэтому мы имеем
«!.(?"+Л-'«Л
*U?° + /)u'-6n*-,w(*4^,
где мы учли, что в системе центра масс в /-канале состояние f имеет импульс р, а состояние г —импульс —р.
Далее, мы должны выяснить, как преобразуется величина Сг в правой части соотношения (Г. 1). В данном случае у нас есть некоторая свобода: G зависит только
') Импульс в системе центра масс в ^-канале р определяется соотношением (5,3а).
350
Глава 5
от импульсов Pf и Рг, поэтому любое преобразование Лоренца, связывающее выражения для Pf и Pt в системе центра масс в /-канале с соответствующими выражениями в системе с | Рг + Pf I -*■ 9°, оказывается подходящим. В частности, мы можем использовать не зависящие от переменной q° + q' преобразования L и R, определенные выше. Мы можем, следовательно, написать
х,)- $,%■«[.;о*М, 13*1: . (г.9)
Теперь вновь обратимся к нашему правилу сумм (Г. 1). Используя соотношения (Г. 5) и (Г. 9), получаем
1 J LiaRfAHRld (q° + q'°) |q+q, фикснроваи = if G*Rl,
(Г. 10)
где подразумевается, что невыписанные индексы спи-ральностей расположены как в (Г.5) и (Г.9). Далее, использование соотношения (Г.7) и замена переменной интегрирования q° + q'° на v приводят к выражению
f LlLlRfDA^bRDdv Pi + Pf ->
R =
q+q' фиксирован
(Г-П)
где мы вынесли матрицы Rf и R‘ из под знака интеграла, так как они не зависят от q° + q' . Очевидно, что мы можем сократить на R в обеих частях соотношения (Г.11) и, используя формулы (Г.8), привести правило сумм к виду
q + q' фиксирован
-».ьА°ЖЧ), (Г-12)
где восстановлены индексы спиральностей. Именно в этом соотношении мы в итоге перейдем к пределу | P^Pf |->оо. Заметим, что переход от Lv к произве-
Дальнейшие сведения о правилах сумм
351
дению (LD)'J не упростил бы выражения (Г. 12), так как
матрицы L в этом случае не сократились бы.
Остается вычислить матрицы преобразований Лоренца Lv и Zv и угол поворота г|).
Так как векторы
(Pt + Ptr, (Pt-Pf)», (q + qT и ^PlPUq+q')'
линейно независимы, то Lv полностью определяется видом этих векторов в системе центра масс в /-канале и в системе, в которой |Рг + Р/| стремится к бесконечности. Фактически вычисление Lv сводится к решению некоторых линейных уравнений. Восстановить детали расчета мы предоставляем читателю; окончательный же результат имеет вид
Ll = О, Lo = [q — qT t~'h,
L?=-[P? + P?]
.V2 I p [ (1 -22)
'k
Ls= —
Mi - M\
Pi + Pf--------------— (q — q )
Г
Г
(Г.13)
X
X [wi p *(i - 1+ [q X (q'X q) +
+ «1'x,)x4T[7^r-7r7^-^f]<,
