- .
( ):
где мы опустили члены порядка | Pf + Pf |_I при
I Р* + Pf I-*- °o. Здесь p и Q — импульсы в системе центра масс в /-канале, определяемые равенством (5.3а), г —косинус угла рассеяния в системе центра масс в /-канале [соотношение (5.5)], а векторы е определяются соотношениями (5.6). При получении выражений (Г.13) существенно использовались соотношения (Г.4), (5.4) и (5.5). То, что в формулы (Г.13) входит вектор е+, а не е_, является следствием соотношения (Г.З); если бы мы устремили Рг + Pf к бесконечности в противоположном направлении, то вектор е+ заменился бы на е_.
Из обсуждения соотношения (Г.6), где мы впервые ввели преобразование Lv, вытекает, что мы можем выбрать в качестве Lv преобразование Lv, вычисленное
352
Глава 5
при некотором частном значении q° + q'° или, что эквивалентно, при некотором частном значении г, так как, согласно (5.5), г в сущности равно v, a 4v = (^° + ^/0)x X (P°i + Pf). Наиболее удобным оказывается выбор значения 2 = 0, который приводит к выражениям
й=[ч-ч']Г<Л
L°0 = 0,
B~[p!+pW[7ftil-
Lrs= -
t
L /2 I p I
+ [q X (q' X q) + (q' X q) X q']"^
(Г.14)
+
do 1
QIV
где векторы d+ и d0 определяются соотношениями (5.6) и опущены члены порядка |P, + Pf[-1.
Угол можно вычислить, сравнивая преобразования L°r и L°s. Для этого удобно ввести специальную систему ортонормированных векторов е1( е2, е3 в /-канале, выбранных так, что
р = |р|е3 и Q = | Q |[ге3 + (1 — z2)7'ej.
С помощью этих векторов преобразование L°r можно представить в виде
л5+лм, 21Р | I
(l-z2)'/j 8‘ (1 -z2)'/s 82
1-
(Г. 15)
Это выражение можно записать как 2 L0sDsr
S
где
■я---------
(Г. 16)
a D — матрица поворота вокруг направления е3 на комплексный угол ф, определяемый соотношениями
cos ip = (1 — z2)-7’, sin ф = гг (1 — г2)-7*.
Теперь довольно просто вычислить exp [г (Xf — Яг) ip]:
g(xf %~i)ф = (cosip + isinip)^ ^ = [7^7] ^ f ' ‘К (Г.17)
Дальнейшие сведения о Правилах дуММ
№
Чтобы получить правило сумм с фиксированными q2 и q' , вернемся к соотношению (Г. 12)^ Подставляя в него выражения (Г.13) и (Г.14) для L% и 1% и (Г.18) для угла поворота и сокращая обе части на Р\ + получаем
1{
(e+)r (e+)s Аа
1р|2(1 - г2)
_____
V 2
1 + z
rfv=-^T=Trr(d+)rG-(Г.18)
где в соответствии с условиями (Г.4) интегрирование должно проводиться при фиксированных q2 и q'2, равных — q2 и — q' соответственно. Замена переменной интегрирования v на г и сокращение некоторых множителей приводит к правилу сумм (5.8).
Во второй половине § 2 настоящей главы мы обсуждали правило сумм, вытекающее из коммутатора, содержащего пространственную компоненту тока. Это правило сумм получается из коммутатора величин и
• q и выводится следующим образом. Исходим из соотношения (Г.1), где величина А^ь заменена на A<*qr, а величина G°c — на Gr3qr. Сохранение тока позволяет нам заменить А°У)г на — поэтому с интегралом
можно поступить точно так же, как и выше, за исключением того, что теперь нужно учитывать дополнительный множитель q0, который в случае Mf = Mt и q2 = q' {jq2 = q/2 в пределе бесконечного импульса) равен q° =
= 2v{P°i + Pt) . Правая часть равенства преобразуется при переходе в систему центра масс в /-канале с помощью соотношения qrGr3’=qrLriiG3=qrLrsGs3, которое является следствием того, что бз = 0 в случае сохраняющегося тока. Окончательный результат (когда Mf = Mt и q2 = q') имеет вид
