Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Из уравнения для гриновской функции 35 (28.18) можно получить тождества
Jt е (Ґ) (г, г') = 4* J- Й (г - Ґ).
дхк ахі
Jr^ ?>?* (Г, г') = —Jj ©A (Г. О = - 4™ ^7 8 (Г - г').
= - -Г7 ©й (Г, ГО + -А ®й(г. ГО + Su
дхк dxt 0хі
Є (Г) ( o^ (Г' Г° ~ dZ (Г' r° ) =
- ¦- — ©A (Г. ro + ©S(r. r') - 8. 05 C - »">
dxk ¦ ' ' r I "" dxt 346 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
Подставляя их в (30.10) и полагая г = г', найдем: є (r) TTi {г' г) = 2 ЧГк s (r) ^ik (г' г) +
Подставив в свою очередь это выражение в (30.8), находим, наконец, что сила / может быть представлена в виде (30.6) с тензором натяжений
OO
aik = — (p. Г) — S' {— "2 [s С- К) —
л = 0
-P-^5^-]®« (Г. г; 0,,)-4^(/-. г; u,„) +
+ г (г, шл) ©fft (г, г; ш„) + ©^ (г. г; ш„)}. (30.11)
Формула (30.11) не имеет еще непосредственного физического смысла, так как входящие в нее величины ©?(г, г') и ©я(г, г') обращаются в бесконечность при г = г'. Это связано с тем, что в дают, если не вводить соответствующего обрезания, бесконечный вклад электромагнитные колебания с малыми длинами волн. Однако коротковолновые колебания не имеют отношения к эффектам, обусловленным неоднородностями тела, поскольку вклад таких колебаний одинаков как в однородном, так и в неоднородном телах, имеющих в рассматриваемой точке одно и то же значение s.
Интересующий нас вклад длинноволновых колебаний, не зависящий в действительности от характера обрезания, получается из формулы (30.11) путем соответствующего вычитания. Именно, под гриновской функцией ©?ft(r, г) (и аналогично под ©«(Л г)) в этой формуле следует понимать предел разности
lim [®fft(r, г') — Jjfft (г. г')].
г-> Г'
—— Z?
где © —гриновская функция однородной неограниченной среды, диэлектрическая постоянная которой совпадает с таковой для неоднородного тела в той точке, в которой вычисляется , тензор натяжений. Во избежание излишней громоздкости мы будем в дальнейшем писать формулу (30.11) § 31] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 347
в прежнем виде, подразумевая, что указанное вычитание уже произведено.
Это же замечание относится и к формуле (30.5) для химического потенциала, которая с учетом (30.7) может быть записана в виде
со
P(р. 7-) = ^, -D + ^S'^y^nftir. г; COn). (30.12)
п = О
Заметим, что в категорию неоднородных сред мы включаем также и системы, состоящие из нескольких тел, каждое из которых однородно. В таком случае при решении уравнения (28.18) компоненты SDift должны удовлетворять на границах между телами определенным условиям. В уравнениях (28.18) независимыми переменными являются координаты г, а координаты ґ играют роль параметров. Поэтому речь идет о граничных условиях по переменным г. Эти условия соответствуют непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей. Поскольку точке г отвечает один из индексов (I) тензора SD/ft, то должны быть непрерывны тангенциальные по этому индексу компоненты
E H
тензоров SDzft И SD**.
Формулы (30.11) и (30.12), полученные Дзялошинским и Питаевским [46], решают в принципе задачу о вычислении ван-дер-ваальсовой части термодинамических величин тела. Задача эта сводится к решению уравнений (28.18) для гриновской функции SDfft.
§ 31. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами
1. Силы взаимодействия между твердыми телами.
Применим развитую выше общую теорию к вычислению ван-дер-ваальсовых сил, действующих между твердыми телами, поверхности которых сближены до очень малых расстояний. При этом разделяющая тела щель может быть заполнена какой-либо жидкостью. Ниже мы будем отличать индексами 7 и 2 величины, относящиеся к двум твердым телам, а индексом 3 — величины, относящиеся к среде, заполняющей щель. 348 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
Хотя мы будем предполагать щель плоскопараллельной, следует иметь в виду, что в действительности для корректной постановки задачи о силе взаимодействия между телами надо рассматривать, по крайней мере, одно из них как обладающее конечными размерами и окруженное со всех сторон средой 3 и определять полную действующую на него силу; ввиду очень быстрого убывания молекулярных сил с расстоянием эта результирующая сила фактически может быть целиком отнесена к силам, действующим через разделяющую оба тела узкую щель.
Полная сила, действующая на тело 2, может быть вычислена как полный поток импульса, втекающей в тело из окружающей его среды 3, равный интегралу от плотности потока по любой охватывающей тело поверхности. При этом надо учесть, что среда 3 находится в термодинамическом равновесии, одно из условий которого состоит в постоянстве ее химического потенциала: fx = const, где дается формулой (30.12).
Поскольку поправки к плотности среды, связанные с длинноволновыми флуктуациями поля, малы, можно считать плотность р постоянной вдоль среды 3; при этом изменение химического потенциала jx0(р, Т) совпадает (в силу (30.4)) с изменением величины р0(р, 7')/р. Поэтому условие [I = Const можно переписать в виде
