Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(^l -Г2> t, — t2) =
= - і Sp { Tt {(rlt /,), (Г2, *„)} } • (28.28) § 29] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ постоянной 335
Как мы видели в § 17, ее фурье-компоненты связаны с Dr (ft, со) соотношениями
Re D (ft, со) = ReD* (ft, со), (28 29)
Im D (ft, со) = cth -^r Im Dr (ft, со).
Мы не будем приводить получающиеся отсюда громоздкие формулы для D.
Функция D представляет особый интерес при абсолютном нуле температуры, когда для ее вычисления можно пользоваться обычной техникой квантовой теории поля (гл. II). Переходя в (28.29) к пределу 7=0, получаем:
Re D (ft, со) =Re Dr (ft, со),
R (28.30)
Im D (ft, со) = sign со Im D (ft, со).
Учтя, что вещественная часть s(co) есть четная функция со, а мнимая—нечетная (см., например, [45]), нетрудно убедиться, что для перехода от D^ к D при T = 0 нужно в формулах (28.26) заменить всюду со на |со|. В частности, для калибровки (28.26а) получаем:
п__
'к ? ( Ico I) со2—к2 '
_ (28.31)
D00 — — 7( I ш I ) (е ( I и I ) ш2 _ ?2) ' dO/ —
Формулы (28.31) являются обобщением обычных формул для гриновской функции фотона в квантовой электродинамике (см. например, [24]). Для частного случая прозрачных сред (е"(со) = 0) они были получены другим способом Рязановым [47].
§ 29. Вычисление диэлектрической постоянной
К вычислению температурной гриновской функции электромагнитного поля © в поглощающих средах можно подойти по-иному, применив для этой цели развитую в гл. III диаграммную технику. Интересуясь только электромагнитным полем с длинами волн, значительно превосходящими 336 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
межатомные расстояния, мы представим гамильтониан взаимодействия частиц и поля в виде суммы двух частей:
Hint — Нш + HfJt,
относя к нулевому гамильтониану H0 энергию невзаимодействующих частиц и свободных фотонов. В Hi-JJt мы включим часть взаимодействия, приводящую к упомянутым в начале предыдущего параграфа короткодействующим силам. IifJt представляет собою гамильтониан взаимодействия длинноволнового электромагнитного поля и частиц.
В случае калибровки с равным нулю скалярным потенциалом
HfJt = - f А (г) j(г) dr, (29.1)
где j(r) — оператор плотности тока частиц. Большая величина длин волн в (29.1) означает, что в разложение А (г) в ряд Фурье входят только импульсы k, не превосходящие по модулю некоторого граничного импульса k0, много меньшего, чем обратные межатомные расстояния I/а. Вследствие этого все возникающие в диаграммной технике интегралы по k следует обрезать при A0^lja.
При нерелятивистских скоростях частиц (условие, которое выполняется в любых макроскопических системах) оператор плотности тока имеет вид (см., например, [15])
J (г) = { -1 (tya <Г) Vtya (г) - VtyJ (г) (г)) -
а
—J^(rHa(r)Wr)}.
Суммирование происходит по различным сортам частиц.
Будем различать диаграммы для поправок к гриновской функции длинноволнового излучения по числу длинноволновых фотонных линий. Части диаграмм, не содержащие таких линий, будем для краткости обозначать заштрихованными многоугольниками. Очевидно, что под такими многоугольниками мы можем понимать сумму всех возможных частей, обладающих указанным свойством, сведя, таким образом, § 29] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ постоянной 337
ряд теории возмущений по заряду е к ряду по числу длинноволновых фотонных линий. Различные типы диаграмм этого ряда приведены на рис. 82. Величины, соответствующие многоугольникам, целиком определяются свойствами конденсированного тела, которое образовалось в результате действия короткодействующих сил.
Рис. 82.
Из физических соображений уже сразу довольно очевидно, что диаграммы 4—7 рис. 82 дают пренебрежимо малый вклад, поскольку они соответствуют различным нелинейным процессам типа рассеяния света на свете. Это утверждение можно доказать также следующим образом. Как уже упоминалось, все интегралы по импульсам длинноволновых фотонных линий должны обрезаться на некотором 1/а- Из соображений размерности поэтому следует, что каждой фотонной линии, по импульсу которой 338 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
производится интегрирование, соответствует малый множитель порядка k0a. Единственным типом диаграмм, в которых интегрирования по импульсам длинноволновых фононных линий вообще не происходит, являются диаграммы 1, 2, 3 рис. 82.
Суммирование такой последовательности диаграмм мы уже проводили в § 10 при выводе уравнения Дайсона. Поэтому мы сразу можем написать уравнение для ?),-?1):
ч «g=®?^!-^; о +
+ J drz drfiffl (rx r3; шя) Stim (r3, r4; coj (r4. r2; u>„).
(29.2)
Величина St> изображающая вклад заштрихованной петли на рис. 82,. называется поляризационным оператором. Как видно из предыдущих рассуждений, он полностью определяется свойствами среды.
Выразим поляризационный оператор St через диэлектрическую постоянную системы. Для этого заметим, что гриновская функция длинноволнового излучения (при калибровке с ср = 0) удовлетворяет уравнению (28.18). Подействовав на уравнение (29.2) слева оператором
