Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
"^+rotH xoiIk
и учтя, что ф(0)удовлетворяет уравнению (28.18) с є= 1, получим после простого вычисления
jdr'StaCv r '> VJW' г2> ил) =
— 4^-4bn*Jik\?\. W/j).
откуда следует искомая формула
Stikiru Г2\ сол)=^(е(гь г'Ы) — г2). (29.3)
Тот факт, что поляризационный оператор оказался пропорциональным 8 (гг— г2), связан с пренебрежением в макро-
') Имея в виду случай неоднородных тел, мы записали уравнение (29.2) в координатном представлении, сохранив лишь преобразование Фурье по т. § 29] ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ постоянной 339
скопической теории эффектами пространственной корреляции. Последние становятся существенными лишь в области частот, где имеет место так называемый аномальный скин-эффект. Свойства в этой области частот будут рассмотрены в гл. VII. В дальнейшем в этой главе для нас будут существенны гораздо большие частоты, при которых аномальный скин-эффект отсутствует.
Если рассматривается случай однородного тела, то есть функция только T1 — г2, a S не зависит от г. Производя в (29.4) преобразование Фурье по гх—г2, мы приходим к простой формуле, связывающей поляризационный оператор системы ffi (k, а>л) с ее диэлектрической постоянной:
ЖіАЬ< = (29.4)
Формула (29.4) позволяет вычислять диэлектрическую постоянную тела при Тф О при помощи методов квантовой теории поля. Действительно, вычисляя поляризационный оператор системы, мы находим тем самым величину s(cd) на дискретном множестве точек на мнимой оси: шп=2пкТі. Учтя, что є (<и) есть аналитическая функция, не имеющая особенностей В верхней полуплоскости (D, и повторив применительно к S дословно все рассуждения § 17 относительно © и Gr, мы приходим к выводу, что для получения s (id) достаточно аналитически продолжить величину
TT" Ж и К)
3«.л
с дискретного множества точек на положительной мнимой полуоси на всю верхнюю полуплоскость. Хотя эта задача и не имеет решения в общем виде, упомянутое аналитическое продолжение в отдельных конкретных случаях может быть произведено.
Задача вычисления е(<и) существенно упрощается при температуре, равной нулю. В этом случае для вычисления поляризационного оператора мы можем пользоваться временной техникой теории поля, описанной в гл. II. Повторяя буквально все вычисления, сделанные в этом параграфе для случая временной диаграммной техники, и учтя сказанное 340 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
в § 28 относительно функции Dik(k, <u), мы получим формулу (для калибровки с ср = 0)
П/* («О ==(е (M)-I) fflV (29-5)
Вспоминая, далее, что в'(ш) = е'(—ш), a s"((u) =— є"(—ш), выразим S через IT:
И= 1+5-Rent,-И,
З®2 4 "
те
Зш I (о I
'H= ^Srrlm 1MuO-
(29.6)
Таким образом, вычисление є(ш) при T= 0 сводится к определению поляризационного оператора системы.
§ 30. Силы Ван-дер-Ваальса в неоднородном диэлектрике
Длинноволновое электромагнитное поле является источником специфических дальнодействующих сил, которые можно назвать ван-дер-ваальсовыми, так как они имеют ту же природу, что и силы притяжения между молекулами на больших расстояниях. Хотя вклад этих сил в свободную энергию тела весьма мал по сравнению с вкладом короткодействующих сил сцепления, однако они приводят к качественно новому эффекту— неаддитивности свободной энергии. Именно эта неаддитивность, связанная с дальнодействуюшим характером ван-дер-ваальсовых сил, позволяет выделить их вклад в термодинамические величины.
Указанную неаддитивность легко понять, обратившись к упомянутой связи между ван-дер-ваальсовыми силами и длинноволновым электромагнитным полем. Действительно, всякое изменение плотности, а с ним и электрических свойств среды, в некоторой области приводит, в силу уравнений Максвелла, к изменению поля и вне этой области. Поэтому связанная с длинноволновым излучением часть свободной энергии не определяется свойствами веществ только в данной точке, т. е. будет неаддитивна.
Это приведет к тому, что химический потенциал тонкой пленки жидкости на поверхности твердого тела будет зависеть от толщины пленки. С другой стороны, ван-дер-ва-альсовы силы являются источником сил взаимодействия § 30] СИЛЫ BAH-ДЕР-ВДАЛЬСА B НЕОДНОРОДНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ 341
между твердыми телами, т. е. свободная энергия зависит от расстояний между ними. Очевидно, что в этих явлениях существенную роль будет играть электромагнитное поле с длинами волн порядка толщины пленки или расстояния ¦ между телами, что позволяет выразить интересующие нас величины через диэлектрические постоянные тел s(w).
Для вычисления поправки к свободной энергии за счет длинноволнового электромагнитного поля мы воспользуемся развитой в § 15 диаграммной техникой для термодинамического потенциала Q (в случае фотонов он совпадает со свободной энергией F). Повторяя соответствующие рассуждения предыдущего параграфа, мы убеждаемся, что вклад в F дает только последовательность диаграмм рис. 83. При этом, в связи со сказанным в § 15 о коэффициентах перед диаграммами для F, Рис. 83.
может показаться, что мы
уже не сможем понимать под заштрихованным блоком на рис. 83 сумму всех возможных частей диаграмм, не содержащих длинноволновых фотонных линий. Легко, однако, убедиться, что это не так. Оказывается, что коэффициент перед диаграммой равен Ijtn, где т— число фотонных линий1). Это обстоятельство позволяет провести суммирование заштрихованных блоков и сопоставить заштрихованным петлям на рис. 83 вычисленный в § 29 поляризационный оператор
